初中几何专题提高讲义第九章 半角模型.docx

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1、第九章半角模型模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图：②∠2=∠AOB；②OA=OB。连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。模型实例例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AH⊥MN于点H，求证

2、：AH=AB。例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD。求证：EF=BE-FD。热搜精练1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在

3、DC延长线，∠MAN=45°。求证：MN=DN-BM。2．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给

4、予证明。3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的

5、点，且BE+FD=EF。求证：∠EAF=∠BAD。5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E连接EF。（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结论即可）。