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《2011年4-2平面向量的基本定理及坐标表示.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件)4.2平面向量的基本定理及坐标表示1．共线向量的条件如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b＝λa.2．平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使：a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的．一组基底(base)3．平面向量的坐标表示：在直角坐标
2、系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．4．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1
3、，y2－y1)(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx,λy)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)解析：BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．答案：B2．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是()A.B.C.D.解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，AB＝(3，－4)，∴与AB同向的单位向量为答案：A3．(2009·重庆高考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若
4、a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：∵a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)，∴3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2.答案：D4．如右图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且
5、OA
6、＝
7、OB
8、＝1，
9、OC
10、＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为__________．解析：如右图，OC＝OD＋OE＝λOA＋μOB在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求
11、OD
12、＝4，同理可求
13、OE
14、＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝
15、6.答案：6利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．【例1】如右图，在△ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于P点，求AP∶PM的值．解答：设CA＝a，CB＝b，AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(BC＋CN)＝b－a＋λ(－b＋a)＝(－1)a＋(1－λ)b，MP＝MB＋BP＝MB＋λBN＝b＋λ(－b＋a)＝a＋(－λ)b，由AP∥MP，解得：λ＝，∴AP＝＝4PM.即AP∶PM＝4∶1.变式1.如右图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同
16、的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为____________．解析：设AB＝a，AC＝b，MO＝AO－AM＝同理NO＝由MO∥NO得MO＝λNO，即①×②整理得m＋n＝2.答案：2利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【例2】已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．解答：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得AC＝(x1＋1，y1－2
17、)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．变式2.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，则当λ为何值时，点P在第三象限？解答：AB＋λAC＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴AP＝(3＋5λ，1＋7λ)，设P点的坐标为(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)，又∵P在第三象限，∴∴解得λ<－1，即当λ<－1时，点P在第三象限.1.
