面积与定积分讲课讲稿.ppt

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1、面积与定积分面積與定積分在幾何學中，面積為定義某個區域大小的數值，矩形、三角形和圓形的簡單區域都有面積公式。本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積，如圖6.5中區域R的面積。P.6-27第六章　積分與其應用面積與定積分P.6-27第六章　積分與其應用面積與定積分P.6-27圖6.5第六章　積分與其應用範例1求定積分值求定積分。P.6-27第六章　積分與其應用範例1求定積分值（解）代表圖形f(x)＝2x、x軸與直線x＝2所圍成區域的面積，如圖6.6所示。這區域的形狀為三角形，高為4且底為2。利用三角形的面積公式可求得P.6-27第六章　積分與其應用範例1求定積分值

2、（解）P.6-27圖6.6第六章　積分與其應用檢查站1以幾何的面積公式來求定積分，並以簡圖來驗證答案。P.6-27第六章　積分與其應用微積分基本定理函數A(x)為圖6.7中陰影區域的面積。欲知A和f的關係，可令x的增加量為Δx，則面積的增加量為ΔA，再令f(m)和f(M)分別代表f在閉區間[x,x＋Δx]的極小值與極大值。P.6-28第六章　積分與其應用微積分基本定理P.6-28圖6.7第六章　積分與其應用微積分基本定理P.6-28圖6.8第六章　積分與其應用微積分基本定理依圖6.8，可建立下列的不等式。P.6-28第六章　積分與其應用微積分基本定理故f(x)=A

3、(x)和A(x)=F(x)+C，其中F(x)=f(x)。因為A(a)=0，可得C=－F(a)，所以A(x)=F(x)－F(a)，即由上面的方程式可知，若能找到f的反導數，即可利用該反導數來計算定積分，此結果稱為微積分基本定理(FundamentalTheoremofCalculus)。P.6-28第六章　積分與其應用微積分基本定理P.6-28第六章　積分與其應用微積分基本定理P.6-29第六章　積分與其應用微積分基本定理在微積分基本定理的推導過程中，假設f在閉區間[a,b]為非負值，則定積分就是面積。如今，這個定理可放寬定義，使得函數f在閉區間[a,b]可部分

4、或全部為負值。更具體的說，若f為在閉區間[a,b]的任一連續函數，則從a到b的定積分可記為其中F為f的反導數。請注意，定積分不一定代表面積，它可以是負數、零或正數。P.6-29第六章　積分與其應用微積分基本定理P.6-29第六章　積分與其應用請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積分表示一個函數族，每個成員都是f的反導數，然而定積分則是一個數值。學習提示P.6-29第六章　積分與其應用範例2以微積分基本定理求面積求x軸與函數圖形f(x)＝x2－1，1≤x≤2所圍成區域的面積。P.6-30第六章　積分與其應用範例2以微積分基本定理求面積（解）如圖6.9所示，在區間1

5、≤x≤2，f(x)≥0。故可用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基本定理即可求得此面積。所以，該區域的面積為平方單位。P.6-30第六章　積分與其應用範例2以微積分基本定理求面積（解）P.6-30圖6.9第六章　積分與其應用檢查站2求x軸與函數圖形f(x)＝x2＋1，2≤x≤3所圍成區域的面積。P.6-30第六章　積分與其應用學習提示在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中，如範例2所示。P.6-30第六章　積分與其應用範例3求定積分求定積分，並畫出此積分所代表面積的區域。P.6-30第六章　積分與其應用範例3求定積分（解）

6、此區域的圖形如圖6.10所示。P.6-30第六章　積分與其應用範例3求定積分（解）P.6-30圖6.10第六章　積分與其應用檢查站3求。P.6-30第六章　積分與其應用範例4求定積分求下列定積分。P.6-31第六章　積分與其應用範例4　求定積分（解）P.6-31第六章　積分與其應用範例4　求定積分（解）P.6-31第六章　積分與其應用學習提示請注意，範例4(c)的定積分之值為負數。P.6-31第六章　積分與其應用檢查站4求下列定積分。P.6-31第六章　積分與其應用範例5　絕對值的解釋計算。P.6-31第六章　積分與其應用範例5　絕對值的解釋（解）該定積分代表的區

7、域畫在圖6.11，由於絕對值的意義為P.6-31第六章　積分與其應用範例5　絕對值的解釋（解）P.6-31圖6.11第六章　積分與其應用範例5　絕對值的解釋（解）再利用定積分的性質3，將積分改寫成兩個定積分的和。P.6-31第六章　積分與其應用檢查站5求。P.6-31第六章　積分與其應用邊際分析在介紹導數與微分量時(3.3與4.8節)，我們討論過邊際分析。在給定成本、收入或利潤函數時，導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本、收入或利潤。本節則採反向推算；即給定邊際成本、邊際收入或邊際利潤，在多銷售一單位或幾個單位時，以定積分來計算成本、收入或利潤的實際增

8、加量或減少