静电场的解法说课材料.ppt

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1、静电场的解法3.1.2边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布，求解该区域中电位的分布状况，这类问题称为边值型问题或简称为边值问题，边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布，这类问题又称为狄利克莱问题。第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布，这类问题又称为诺伊曼问题。第三类边值问题：一部分边界上的电位给定，另一部分边界上的法向导数给定，求区域中电位分布，这类问题又称为混合型边值问题。如果边界是导体，则上述三类问题分别变

2、为：已知导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。3.2唯一性定理唯一性定理：满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件，则这个区域中的解是唯一的。3.2.1格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数，并要求在边界上一阶连续，在区域内二阶连续。则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式3.2.2唯一性定理的证明设φ1φ2是同一无源区域的边值问题

3、的解。即它们应满足和，同时满足边界条件。因此，两个解的差应满足拉普拉斯方程在格林第一恒等式中，取对于第一类边值问题，φ1φ2应满足相同的边界条件可得式中C为常数，由此可知，在第一类边值问题中，两个解最多相差一常数，若应用自然边界条件，因为φ1φ2的参考点选在同一位置上，则常数C=0。于是证明了φ1=φ2，即该边值问题的解是唯一的。对于第二类边值问题，由于的值在边界上应相同，故同样可得：因此，同样两个解相差一常数，同样有常数C=0。于是证明了φ1=φ2，即第二类边值问题的解也是唯一的。对于第三类边值问题，证明类似。对于泊松方程解的唯一性的证明，仍然

4、假设有两个解φ1φ2都满足泊松方程和给定的边界条件，即因此，两个解φ1φ2的差φ′＝φ1－φ2满足拉普拉斯方程，证明方法完全相同。唯一性定理提出了定解的充分必要条件，是关于边值问题的一个重要定理。它的重要意义在于告诉我们：如果一个区域中的电荷分布和边界条件都给定，则该区域中有解且解是唯一的，此解一定满足泊松方程或拉普拉斯方程，同时满足边界条件；反过来，一个函数如果同时满足电位方程和边界条件,则此函数一定是该区域中电位的唯一解。因此，可以自由选择任一种求解电场的方法，即使是采用凑的方法或者靠判断猜测出的解，只要它满足拉普拉斯方程（或泊松方程），又满

5、足给定的边界条件，那么根据唯一性定理，这个解就是所要求的解。3.3分离变量法分离变量法是求解边值问题的一种常用方法，此法可以分两步进行，第一步，根据给定的边界形状选择适当的坐标系，并在此坐标系下将待求的电位函数表示成三个一元函数乘积的形式，每个函数仅是一个坐标变量的函数，将其代入电位的偏微分方程，就可通过分离变量将偏微分方程求解转化成三个常微分方程的求解。第二步，根据给定的边界条件确定常微分方程解的形式、分离常数及通解中的待定系数，以求得给定问题的唯一解。本节将分别介绍在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中解拉普拉斯方程的分离变量法。分离变量法要求

6、给定的边界与坐标系的坐标面相合或平行，或者至少分段地与坐标面相合或平行；这样，偏微分方程的解才可表示为坐标系中三个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个坐标的函数。3.3.1直角坐标系中的分离变量法联立求解可得：当边界面形状适合选用直角坐标系时，则可在直角坐标系中求解电位的拉普拉斯方程：设所求解区域中的电位函数是可变量分离的，则可令待求电位函数为其中上式中每一项仅是一个坐标变量的函数，欲使此式成立，必须每项都为常数。即由上式可知三个待定常数中只有两个是独立的，且它们不能全为实数，也不能全为虚数，如有两个取实数时，第三个必取虚数，若其中一个为零值，剩

7、下的两上必定一个是实数，一个是虚数，分离常数kx，ky，kz的选取由边界条件决定；解的具体形式由分离常数的取值决定。如：这样就把偏微分方程分离成了三个常微分方程，其中kx，ky，kz称为分离常数，都是待定的量，三者间关系是当kx＝0时当kx为实数时当kx为虚数时注意：上述线性函数式和双曲函数式都最多只有一个零点，而正弦函数式在x方向上有无穷多个零点。g(y)和h(z)的情况与此类似，这样我们就求出了拉普拉斯方程的特解形式φ＝f(x)g(y)h(z)。然后再将所有可能的特解迭加起来并使其满足边界条件，即可确定出该边值问题的真解。例若在区域内电荷密度

8、为，在其它区域内电荷密度为0。试由泊松方程求解电位和电场强度在此区域中的解，并与由高斯定律得出的结果相比较。解：由于电位φ不是xy的函数