2011江苏复赛试题

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1、Http://www.fhedu.cn2011年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8分）1 x 1．已知集合 M＝{x

2、

3、x－1

4、＜3}，N＝{x

5、()＜1，x∈Z}，则 M∩N的子集的个数是．2 答案：8．x2．已知函数 f(x)＝，则 f(x)的值域为．2x＋2x＋4 2 3 答案：[－，1)．3 3．在△ABC中，已知AB＝2 3，BC＝7＋1，AC＝7－1，则AB 边上高的长度为．2 6 答案：．5 4．设ai∈{0，1，2，…，9}，其中i＝1，2，3，4，则排列a1，a2，a3，a4中，至少有两个

6、 9 相邻的排列的个数为．答案：280．22xy®®®®5．已知A、B、C是椭圆＋＝1 上的三点，点F(3，0)，若FA＋FB＋FC＝0，则

7、FA

8、 25 16 ®®＋

9、FB

10、＋

11、FC

12、＝．48 答案：．5 4ìab，ab≤22，a＋4b6．设 a、b为正实数，记 M＝í则 M的最大值是．4422，ab＞22，îa＋4ba＋4b答案：1．227．已知 a(b＋c)＝b(a＋c)＝2011 且 a≠b，则 abc＝．答案：－2011．8．若直线系C：xcost＋(y＋1)sint＝2 中的三条直线围成正三角形区域D，则区域 D 的面积为．凤凰出版传媒集团版权所有网站

13、地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：02583657815 Mail：admin@fhedu.cnHttp://www.fhedu.cn4 3 答案：或 12 3．(得到一个答案给满分)3 二、解答题（本题满分 16 分）1 设数列{an}的前n 项和为Sn．如果a1＝，an＝－5SnSn－1(n≥2)，求数列{an}的通项2 公式 an．解：设n≥2．因为 an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝－5SnSn－1．………………………………2 分先证明 Sn≠0(n≥1)．1 ①S1＝a1＝≠0．2 ②假设 Sn－1≠0．如果 Sn＝0，则由 Sn－Sn

14、－1＝－5SnSn－1知 Sn－1＝0，矛盾．由归纳法原理，知对一切 n≥1，都有 Sn≠0．………………………………6 分将等式 Sn－Sn－1＝－5SnSn－1两边除以 SnSn－1，得11－＝5，SnSn－11所以{ }是首项为 2，公差为 5的等差数列．………………………………9分Sn1因此＝2＋5(n－1)＝5n－3，Sn1 从而 Sn＝，n≥1．………………………………12 分5n－3 1 1 5 于是 an＝Sn－Sn－1＝－＝－，n≥2，5n－3 5n－8 (5n－3)(5n－8)1 ì，n＝1，2 即 an＝í5 ………………………………16 分

15、－，n≥2．î(5n－3)(5n－8)三、解答题（本题满分 20 分）22xy设M是椭圆C：＋＝1 上的一点，P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的48 16 对称点，N为椭圆C上异于M的点，且 MN⊥MQ，QN 与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点 E 的轨迹方程．解：设M(x1，y1)为椭圆 C上的任意一点（x1y1≠0），N(x2，y2)，动点 E 的坐标为（x，y），凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：02583657815 Mail：admin@fhedu.cn Http://www.fhedu.cn则 P

16、(－x1，y1)，Q (－x1，－y1)，T(x1，－y1)．2222x1y1x2y2所以＋＝1，……①＋＝1．……②…………………………3 分48 16 48 16 ①－②，得(x1－x2)( x1＋x2)(y1－y2)( y1＋y2)＋＝0．48 16 (y1－y2)( y1＋y2)1 1 所以＝－，从而 kMN·kQN＝－．…………………………8 分(x1－x2)( x1＋x2)3 3 因为 MN⊥MQ，所以kMN·kQM＝－1．y1x1y1又 kQM＝，所以 kMN＝－，从而 kQN＝．x1y13x1y1因此直线QN 的方程为y＝(x＋x1)－y1．………

17、…………………12 分3x1y1因为直线 PT的方程为y＝－x，x1y11 ìy＝(x＋x1)－y1，ìx＝x1，3x12由íy解得í1 1îy＝－x，y＝－y1，x1î2所以 x1＝2x，y1＝－2y．…………………………16 分2222xyx1y1因为点(x1，y1)在椭圆 C：＋＝1 上，所以＋＝1，48 16 48 16 4x24y222xy 所以＋＝1，即+=1(xy¹0)，此即为所求点 E 的轨迹方程．48 16 124…………………………20 分四、解答题（本题满分 20 分）32三次函数 f(x)＝x＋ax＋bx＋c的图像如图所示，直线BD∥AC，

18、且直线BD