数值分析(计算方法)总结.doc

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1、第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，精确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误

2、差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f(a)<0,f(b)>0，有根区间为(a,b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)>0(而f(xk-1)<0),则有根

3、区间缩小为[xk-1,xk](若f(xk)=0，xk即为所求根),然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：

4、xk-xk-1

5、0.将[a0,b0]对分，中点x0=((a0+b0)/2),计算f(x0)。3.比例法一般地，设[ak,bk]为有根区间，过(ak,f(ak))、(bk,f(bk))作直线，与x轴交于一点xk,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘

6、法，而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。事先估计:事后估计局部收敛性判定定理：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近Steffensen迭代格式：Newton法：Newton下山法：是下山因子弦割法：抛物线法：令其中：则：设迭代xk+1=g(xk)收敛到g(x)的不动点（根）x*设ek=xk-x*若则称该迭代为p（不小于1）阶收敛，其中C(不为0)称为

7、渐进误差常数第三章解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元选主元对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：若利用紧凑格式可化为：Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定改进Cholesky分解法：其中：追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y向量范数：：矩阵范数：谱半径:收敛条件：谱半径小于1条件数：第四章解线性方程组的迭代法Jacobi迭代：基于Jacobi迭代的Gauss-Seide

8、l迭代:迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代（SOR）:当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均）。第五章插值法Lagrange插值法：构造插值函数：则：若记：则可改为：则插值余项：逐次线性插值法Aitken（埃特金法）：Newton插值法：N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn)并满足N(x)=f(x)差商的函数值表示：差商与导数的关系：则：等距节点Newton插值公式：Newton

9、向前插值：余项：Newton向后插值：余项：Hermite插值：插值余项：待定系数：三次样条插值：（三弯矩构造法）记对于附加弯矩约束条件：对于附加转角边界条件：对于附加周期性边界条件：上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章函数逼近与曲线拟合主要求法方程第七章数值积分与数值微分求积公式具有m次代数精度的充要条件：插值型求积公式Newton-Cotes（等分）梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度误差公式：抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度误差公式Newton求积公式（Simp

10、on3/8法则）具有3次代数收敛精度Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度误差公式节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。复化梯形求积公式：截断误差：复化Simpson公式：截断误差：复化Cotes求积：截断误差：若一个复化积分公式的误差满足且C¹0，则称该公式是p阶收敛的。复化求积公式