专题三--求椭圆及双曲线的离心率-的方法.doc

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1、求圆锥曲线离心率的专题求离心率问题有三种思路,一是求出三个量中的任何两个,然后利用离心率的计算公式求解;二是求出或或之间关系,然后利用离心率的计算公式求解;三是构造出关于离心率的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于的等量关系,再利用的关系消去,得到关于的等式,再转化为关于离心率的方程,解方程求出的值,最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.1.(2016全国丙卷理11)已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.

2、过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为().A.B.C.D.2.已知双曲线,若矩形的四个顶点在上,,的中点为的两个焦点,且,则的离心率是_______.【解析】由题意,,又因为,则,于是点在双曲线上,代入方程,得,再由得的离心率为.考点1.利用题设条件求出的值【例1】已知双曲线,过其右焦点作圆的两条切线,切点记作,,双曲线的右顶点为,,其双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】由题意,易得,,所以,在中,【例2】已知抛物线的准线与双曲线交于两点,点为抛物线的交点,若为正三角形,则双曲

3、线的离心率是.【解析】根据已知条件画出图形(如右图),为正三角形,且抛物线的准线为.在中,.又点在双曲线上,,解得,又,故双曲线离心率.考点2.根据题设条件直接列出的等量关系【例3】已知双曲线的一条渐近线与圆相变于A.B两点,若,则该双曲线的离心率为()A.8B.C3D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标,理4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为()【解析】是底角为的等腰三角形,,则【例5】设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,若,,则椭

4、圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】由条件,则x轴,而,∴为等边三角形,而周长为4a,∴等边三角形的边长为,焦点在直角三角形中,,,,∴,即,∴,考点4.借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线的准线的距离为,则双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.4【解析】点A到抛物线C1的准线的距离为p,适合,,【例7】如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且这两条曲线交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为____

5、____.【解析】如图,设F′为椭圆的左焦点,椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A,连接AF′,所以

6、FF′

7、=2c=p,因为

8、AF

9、=p,所以

10、AF′

11、=p.因为

12、AF′

13、+

14、AF

15、=2a,所以2a=p+p,所以e==-1.考点5.利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆上一点关于原点的对称点为,为其左焦点,若,设,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】取椭圆右焦点,连接,由椭圆对称性以及知四边形为矩形,由得,,由椭圆定义知,,.【例9】设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为_

16、__.【例10】F1,F2是双曲线的左、右焦点,过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若,则双曲线的离心率是()A.B.C.2D.【解析】画出图形,在中,根据题意可设,为直角三角形.设,由双曲线的定义知,即,∴,∴.在中,,∴,故选D.考点6.借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线的两条渐近线分别为.则双曲线的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.【例12]已知双曲线的一

17、条渐近线的倾斜角的余弦值为,该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为,则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角的余弦值为,所以,即,故选C.考点7.利用弦中点坐标,代点相减求离心率【例13】过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为

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