高中数学选修4-5知识点(最全版).doc

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1、高中数学选修4-5知识点1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，ab．(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相

2、等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．3.不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c；(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)乘方法则：a>b>0，n∈

3、N且n≥2⇒an>bn；(8)开方法则：a>b>0，n∈N且n≥2⇒>.（9）倒数法则，即a>b>0⇒<.2．基本不等式1．重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a，b>0，那么(≥)，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，最大值为.②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2.3．基本不等式≤的几何解释如图，AB

4、是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝，CD≤R⇒≤，当且仅当C点与O点重合时，CD＝R＝，即＝.4．几个常用的重要不等式(1)如果a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；(2)如果a，b>0，那么ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．(3)如果a>0，那么a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．(4)如果ab>0，那么＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立．3．三个正数的算术几何平均不等式1

5、．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么(≥)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均．二　绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：

6、a

7、＝(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值

8、a

9、表示数轴上坐标为a的点A到原点

10、O的距离

11、OA

12、.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数x1，x2，则

13、AB

14、＝

15、x1－x2

16、．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

17、a＋b

18、≤

19、a

20、＋

21、b

22、，当且仅当ab≥0时，等号成立．推论1：如果a，b是实数，那么

23、a

24、－

25、b

26、≤

27、a－b

28、≤

29、a

30、＋

31、b

32、.推论2：如果a，b是实数，那么

33、a

34、－

35、b

36、≤

37、a＋b

38、≤

39、a

40、＋

41、b

42、.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

43、a－c

44、≤

45、a－b

46、＋

47、b－c

48、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解

49、法1．

50、x

51、

52、x

53、>a型不等式的解法设a>0，则(1)

54、x

55、

56、x

57、≤a⇔－a≤x≤a；(3)

58、x

59、>a⇔x<－a或x>a；(4)

60、x

61、≥a⇔x≤－a或x≥a．2．

62、ax＋b

63、≤c(c>0)与

64、ax＋b

65、≥c(c>0)型不等式的解法(1)

66、ax＋b

67、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)

68、ax＋b

69、≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c．3．

70、x－a

71、＋

72、x－b

73、≤c与

74、x－a

75、＋

76、x－b

77、≥c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式

78、以准确的几何解释．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．注：绝对值的几何意义(1)

79、x

80、的