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时间：2020-11-23
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1、一阶方程的一般形式为：12.2几类一阶方程的求解重要的观点！一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程的解法。本节研究：12.2几类一阶方程的求解一、可分离变量的微分方程可分离变量方程（定义）.解法为微分方程的通解.第一步：分离变量第二步：两边积分解求：例2：求解微分方程解：为所求通解.题型：“经过变形、代换…可化为变量分离方程”1.定义的微分方程称为齐次方程.2.解法：第一步：作变量代换代入原式第二步：解可分离变量方程二、齐次型方程解令则分离变量：两边积分：回代：或例3：求的通解解：令则分离变量：两边积分：
2、回代：例4：即一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性微分方程（关于未知函数及其导数的一次方程）一阶线性微分方程的解法1.线性齐次方程①(使用分离变量法)齐次方程①的通解为常数变易法：“把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法”.设为②的解积分得方程②的通解为:相应齐方程通解为令解1：常数变易法（解2：公式法略）代入非齐方程解得例5故非齐次方程的通解为四、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代
3、换化为线性微分方程.代入上式例6解注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli方程等都是通过变量代换来求解方程的。将变换为也是经常可以考虑的三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程
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