蒙特卡罗方法介绍及其建模应用视频课程课件2016.pptx

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1、Monte-Carlo方法介绍及其建模应用朱连华南京信息工程大学2021年9月21日2021/9/2104:23南京信息工程大学主要内容蒙特卡洛方法应用实例22009-B眼科病床安排应用3蒙特卡洛方法介绍12021/9/2104:23南京信息工程大学蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛的优缺点及其适用范围2随机数的生成3蒙特卡洛方法概述1MonteCarlo的起源设总计投了M个点，落入阴影部分N个，则不规则图形的面积为蒙特卡罗方法数学建模的解有两类精确解近似解自然现象有两类确定性现象不确定性现象随机现象模糊现象12021/9/2104:23

2、南京信息工程大学随机投点试验求近似解引例---计算面积在一定条件下必然发生现象2021/9/2104:23南京信息工程大学MonteCarlo的起源MonteCarlo方法：又称随机模拟方法，对研究的系统进行随机观察抽样,通过对样本值的统计分析，求得所研究系统的某些参数不同于一般数值计算方法，它是以概率统计理论为基础的一种方法，由于能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来，“曼哈顿计划”主持人之一、数学家

3、：冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥最大的城市MonteCarlo—来命名这种方法Monte-CarloMonacoJohnVonNeumann(1903-1957)2021/9/2104:23南京信息工程大学MonteCarlo方法的应用物理：核物理，热力学与统计物理，粒子输运问题等数学：多重积分、解微分方程、非线性方程组求解等工程领域：真空技术，水力学，激光技术等经济学领域：期权定价、项目管理、投资风险决策等其他领域：化学、医学，生物，生产管理、系统科学、公用事业等方面，随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。2021/9

4、/2104:23南京信息工程大学MonteCarlo方法的基本思想法国数学家ComtedeBuffon2021/9/2104:23南京信息工程大学MonteCarlo方法的基本思想每次投针试验实际上变成从两个均匀分布的随机变量中抽样，从而针线相交的概率为:2021/9/2104:23南京信息工程大学计算机模拟程序实现：functionpiguji=buffon(llength1,llength2,mm)%llength1,llength2分别表示1/2线的宽度和针的长度%mm是随机实验次数frq=0;xrandnum=unifr

5、nd(0,llength1,1,mm);theta=unifrnd(0,pi,1,mm);forii=1:mmif(xrandnum(1,ii)<=(llength2*sin(theta(1,ii))))frq=frq+1;endendpiguji=(2*llength2/llength1)/(frq/mm)endbuffon(1,.6,1000)piguji=3.14622021/9/2104:23南京信息工程大学建立统计模型，主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致，问题的解对应于模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征根据

6、模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数，进而进行随机模拟实验根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）按照所建立模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。蒙特卡洛方法计算机模拟基本步骤2021/9/2104:23南京信息工程大学蒙特卡洛模拟的理论基础大数定律---贝努里

7、（Bernoulli）大数定律中心极限定理2021/9/2104:23南京信息工程大学蒙特卡洛模拟的误差分析由中心极限定理可知：这表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收敛到的阶为O(n-1/2)。通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为：2021/9/2104:23南京信息工程大学蒙特卡洛方法优缺点及其适用范围MonteCarlo方法及其程序结构简单产生随机数，通过大量简单重复抽样和简单计算计算相应的值收敛速度与问题维数无关MonteCarlo方法的收敛速度为O(n-1/2)，与一般数值方法相比很慢。因此，用MonteCa

8、rlo方法不能解决精确度要求很高的问题MonteCarlo方法误差只与标准差和样本容量n有关，而与样本所在空间无关，即MonteCarlo方法的收敛速度与问题维数无关，而其他数值方法则不然。MonteCarlo方法的适用性强MonteCarlo方法对多维问题