分式方程竞赛题.pdf

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1、第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1解方程111++=0222x11x8x2x8x13x82解令y＝x＋2x－8，那么原方程为111++=0y9yyy15x去分母得y(y－15x)＋(y＋9x)(y－15x)＋y(y＋9x)＝0，22y－4xy－45x＝0，(y＋5x)(y－9x)＝0，所以y＝9x或y＝－5x．22由y＝9x得x＋2x－8＝9x，即x－7x－8＝0，所以x1＝－

2、1，x2＝8；22由y＝－5x，得x＋2x－8＝－5x，即x＋7x－8＝0，所以x3＝－8，x4＝1．经检验，它们都是原方程的根．例2解方程2x4x72x7272x72＋－18＝0＋－18＝022x1x4xx4x2x4x72解设y＝，则原方程可化为y＋－18＝0x1y2y－18y＋72＝0，.所以y1＝6或y2＝12．2x4x22当y＝6时，=6，x＋4x＝6x－6，故x－2x＋6＝0，此方程无实数根．x12x4x222当y＝12时，=12，x＋4x＝12x－12，故x－8x＋12＝0,故x－8x＋12＝0，x1所以x1＝2或x2＝6．经检验，x1＝2，x2＝6是原方程的实数根

3、．例3解方程2x63x10x42x102x1x3x2x2分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为5x231+(3)20，2x1x3x2x2整理得53x20，2x1x2x3x2去分母、整理得x＋9＝0，x＝－9．经检验知，x＝－9是原方程的根．例4解方程x1x6x2x5+=＋．x2x7x3x6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为.11111111，x2x7x3x61111x6x7x2x3即11=，(x6)(x7)(x2)(x3)所以(x＋6)

4、(x＋7)＝(x＋2)(x＋3)．9解得x＝－．29经检验x＝－是原方程的根．2例5解方程11111+＋＋=．x(x1)x(x1)(x9)(x10)12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为11111111，x1xxx1x9x1012整理得1111x1x1012去分母得2x＋9x－22＝0，解得x1＝2，x2＝－11．.经检验知，x1＝2，x2＝－11是原方程的根．例6解方程222x3x22x5x3=222x3x22x5x3ac分析与解分式方程如比利式＝，且本题分子与分母的一次

5、项与常数项符号相反，故可考虑用bd合比定理化简．原方程变形为2222(2x3x2)(2x3x2)(2x5x3)(2x5x3)=，222x3x22x5x3224x4x=，222x3x22x5x3所以22x＝0或2x－3x－2＝2x＋5x－3．1解得x＝0或x＝．81经检验，x＝0或x＝都是原方程的根．8例7解方程223x4x1x4x1=223x4x1x4x1分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为2222(3x4x1)(3x4x1)(x4x1)(x4x1)=2222(3x4x1)(3x4x1)(x4x1)(x4x1)22

6、6x22x2即=．8x8x当x≠0时，解得x＝±1．.经检验，x＝±1是原方程的根，且x＝0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．11像xa这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根．显然a≠1时，x1＝axa111111与x2＝就是所求的根．例如，方程x3，即x3，所以x1＝3，x2＝．ax3x33例8解方程22xx12xx219+=22x1xx16解将原方程变形为22xx1x1232+2=+，x1xx1322xx13123设y，则原方程变为y．2x12y3223解得y1，y2．322xx1235当2=时，x；x1322

7、xx13当=时，x＝1；2x1235经检验x＝1及x＝均是原方程的根．2例9解关于x的方程axbx1+=2．bxax2ax11解设y＝，则原方程变为y2．bxy2.1所以y1＝2或y2＝．2axax1由=2，得x1＝a－2b；由=，得x2＝b－2a．bxbx2将x1＝a－2b或x2＝b－2a代入分母b＋x，得a－b或2(b－a)，所以，当a≠b时，x1＝a－2b及x2＝b－2a都是原方程的根．当a＝b时，原方程无解．例10如果方程xx22xa++=0x2xx(xa)只有一个实数根，求a的值及