西工大飞行器结构力学电子教案5-1.ppt

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1、飞行器结构力学基础——电子教学教案西北工业大学航空学院航空结构工程系第五章位移法DisplacementMethodofStructureAnalysis第一讲位移法概述杆元素与桁架的位移法求解5.1位移法概述以结点位移(广义位移)作为基本未知量，写出由未知位移表示的应变，由物理方程写出仍由未知位移表示的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移，这就是位移法的基本思路。在计算机科学飞速发展的今天，适合于计算机应用的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成为飞行器结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。本章所讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移

2、计算的，故也称为矩阵位移法，它是有限元素法的基础。矩阵位移法主要内容包括两个部分：(1)单元分析，即将结构分解为有限个较小的单元，进行所谓离散化。对于杆系结构，一般以一根杆件或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。(2)整体分析，即将各单元又集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件，从而建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的位移和内力。在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆元素，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。由于杆元素和梁元素是最简单的元素，对这两个元素的分析，既有

3、鲜明的物理意义，又能反映位移法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。5.2杆元素与桁架位移法求解本节将由最简单的杆元素和桁架开始，逐步介绍矩阵位移法的基本原理和计算过程。5.2杆元素与桁架位移法求解对于图示桁架，编号为1、2、3、4、5、6的铰结点称为结点，两结点之间的链杆称为杆元素，如杆元素12、杆元素23等。位移法中，将以每个结点处的位移（结点位移）作为基本未知量，建立关于未知结点位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移，再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同，

4、为具普遍性，任取其中一杆元素ij，首先来研究杆元素的平衡关系。5.2杆元素与桁架位移法求解一、杆元素的平衡方程及刚度矩阵定义：为杆元素在局部坐标系下的结点位移列阵和结点力列阵。杆元素结点上的结点位移分别记为和，与结点位移相对应的结点力分别记为和，结点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。如图所示的杆元素ij，建立元素局部坐标系，轴沿杆元素的轴线由i结点指向j结点，杆长为Lij。5.2杆元素与桁架位移法求解关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、结点力，应变能等）用结点位移表示。（1）元素内位移元素内各点的位移叫做内位移。杆元素的内位移可用结点位移通过线性

5、插值得到：式中，Ni(x)、Nj(x)称为位移形状函数；[N(x)]称为元素的位移形状函数矩阵。对于杆元素，其位移形状函数具有如图所示的形状：式中，[B]称为元素的几何矩阵。（2）变形协调条件与几何矩阵利用变形协调条件，求元素应变，并用节点位移表示：式中，[S]称为元素的应力矩阵。（3）物理关系与应力矩阵（4）杆元素轴力N对于等面积A的杆元素，其轴力用节点位移表示为对于杆元素，[D]=E，应力可以用节点位移表示为利用物理关系，，[D]为元素弹性矩阵，由材料的应力-应变关系式得到。作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件：（5）平衡条件与刚度矩阵上式就是位移法中杆元素

6、的平衡方程，也称为刚度方程。它表示元素结点力与结点位移之间的关系式。或，（5）平衡条件与刚度矩阵式中的称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。刚度矩阵将元素的结点位移列阵和结点力列阵联系了起来。kii、kij、kji和kjj称为刚度矩阵系数，简称刚度系数。或，将平衡方程展开后，得到：可见，刚度系数的物理意义为：对线弹性系统：kij=kji(i≠j)因此，元素刚度矩阵为一对称方阵。平衡方程的物理意义：i点的位移在i点上引起的结点力。j点的位移在i点上引起的结点力。i点的位移在j点上引起的结点力。j点的位移在j点上引起的结点力。应注意以下几点：（1）刚度矩阵的列对应于结点位移，

7、行则对应于结点力；（2）根据元素平衡条件，必定有：由此可以看出，由于结点位移都可以有值，所以元素是可移动的，结点位移列阵中包含有刚体运动，用结点位移表示的平衡方程是奇异的，刚度矩阵的行列式等于零。这就意味着在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。二、元素刚度矩阵的坐标变换由于结构是由许多不同元素组成的，而各个元素的局部坐标系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时，必须规定统一的坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义，便于建立全结构的平衡方程。因此，由各个元素局部坐标系定义的元素