第三章-统计热力学-复习题及答案.doc

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1、第三章统计热力学复习题及答案1．混合晶体是由晶格点阵中随机放置NC个C分子和D分子组成的。（1）证明分子能够占据格点的花样为，若，利用斯特林公式证明（2）若2，利用上式计算得=16，但实际上只能排出6种花样，究竟何者正确？为什么？解：（1）证明：取的全排列，则总共排列的花样数为种，现个相同的C和个相同的D。故花样数为当时取自然对数：（2）实际排出6种花样是正确的，因为Stirling是一个近似公式适用于N很大时才误差较小。而在N为4时，用来计算就会产生较大误差。2．（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色

2、制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿绿色制服得可有三种肩章并任取其中一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试列出求算队型数目的公式。（2）试证明含有N个粒子的定位体系，某种分布-的微观状态数为（gI为相应的简并度）.答：（1）取6个不同的全排列，应有6！种花样，但其中3种完全相同互换位置不能导致新花样另两种完全相同（同样这2种相同物种的全排列为2！种）故排列花样数为：种，另一种只有一种这3种的全排列为3！种，取6个不同的全排列总共有6！种花样，而穿绿色制服3个人有3种肩章，任取一

3、种佩带，相当于有简并度为5（）。就有33种花样。穿灰色的有两种肩章相当于简并度为2，就有22种而穿蓝色的有4种肩章相当于简并度为就有41种，但其中有3个穿绿色制服的戴相同肩章，总共有3！种花样，2个穿灰色的戴相同肩章有2！种（2）在N个不同粒子中取出N1个粒子放在中，其放法为种。在能级上有g1个不同状态，故在上总共有种放法，同理在从（N-N1）中取出N2个粒子放在上的放法为种放法。所以这种分布的微观状态数：3．在公园的猴舍中陈列着三个金丝猴和两种长臂猿，金丝猴有红、绿两种帽子，仍戴一种，而长臂猿可在黄、灰和黑

4、中选戴一种，试问陈列时间可出现几种不同的情况，并列出求算公式。解：设N1=3，N2=2，而g1=2，g2=3则种，因为每一种动物必须戴：三个金丝猴：（红、红、红）（绿、绿、绿）（红、红、绿）（绿、绿、红）共4种。两种长臂猿：（黑、黑）（灰、灰）（黄、黄）（黑、灰）（黄、灰）（黑、黄）。共6种。总共为种。4．已知对非定位体系试证明式（3.24），（3.25）和（3.26）。解：对定位体系：（第二题的结果）对非定位体系：摘取最大项原理：（定位体系）对非定位体系：微分：用拉格朗日乘因子法，求得：（书中189页），即

5、，，，，，，与定位体系的玻兹曼分布公式相同非非5．试证明玻兹曼分布的微观状态数公式为式中，证：利用定位体系任意分配方式公式：（玻兹曼统计是指经典统计认为粒子是可区别的，即定位体系）取自然对数：对最概然分布：6．设有一圆柱形铁皮筒，体积为铁皮面积为，试用拉格朗日乘因子法当铁皮面积为最小时，圆柱半径（R）和高（L）之间的关系？并算出至少要消耗多少面积的铁皮？不讨论（可自己求解）解：极值时：（圆柱半径R与高之间的关系）设：，，（1）（2）（3）由（2）（4）（4）代入（1），，由7．试用配分函数表示出单原子理想气体

6、的吉布斯自由能G和焓H。答：理想气体为非定位体系：对单元子分子，只有电子核和平动配分函数。，，，（！为常数。与体积无关），，吉布斯─亥姆霍兹公式8．CO2气体可作为理想气体，并设其各个自由度都服从经典的能量均分原理，已知试用计算方法判断CO2是否为线性分子。解：由（第一章中讨论到理想气体）..设：若CO2为线性分子，补：平动有3个自由度。根据其总自由度为3n。∴振动自由度应为。由于一个振动的能量中的表达式中包括2个平方项（83页小字部分），振动的动能和振动的位能，每个平方项都提供的能量（若为1mol。则为）若

7、一个分子有七个平动自由度，r个转动自由度。S个振动自由度。则：总能量，。若CO2为线性分子.与原来题中给的条件求出的一致。故假设正确，CO2是直线型分子。9．四种分子的有关参数如下：分子MtΘr/kΘv/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801问在同温同压下，那种气体的摩尔平动熵最大？那种气体的摩尔转动熵最大？那种气体的转动基本频率最小？解：先写出平动熵，转动熵及振动特征温度的表达式：（沙克尔—特鲁德公式）（物质量为1mol.）由公式可见，粒子的质量m

8、越大，平动熵则越大，所以HBr的摩尔熵最大。非非(双原子分子：)非m说明转动特征温度越小，非m越大，所以Q2的非m最大。所以振动特征温度越小，越小，所以CO2的振动基本频率最小。10．请定性说明下列各种气体，为什么在不同温度下的Cv，m值不等，找出其中的变化规律。298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO22