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1、机理模型资料线性规划1.问题例1家具生产的安排一.家具公司生产桌子和椅子，每张桌子要用15个工时，0.2立方木材，售价80元每张椅子要用10个工时，0.05立方木材，售价45元用于生产的劳力共计450个工时，木材共有4立方米问为达到最大的收益，应如何安排生产？分析：1.求什么？生产多少桌子？生产多少椅子？2.优化什么？收益最大3.限制条件？原料总量劳力总数x1x2Maxf=80x1+45x20.2x1+0.05x2≤415x1+10x2≤450模型I：以产值为目标取得最大收益.设：生产桌子x1张,椅子x2张,(决策变量)将目标优化为：maxf
2、=80x1+45x2对决策变量的约束：0.2x1+0.05x2≤420x1+5x2≤40015x1+10x2≤450,x1≥0,x2≥0,0.2x1+0.05x2≤4规划问题：在约束条件下求目标函数的最优值点。规划问题包含3个组成要素:决策变量、目标函数、约束条件。1.规划问题分类：当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题,否则称为非线性规划问题。2.线性规划问题求解方法称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,称使目标函数达最优值的可行解为最优解.图解法：(解两个变量的线性规划问题)在平面上画出可行域（凸多
3、边形），计算目标函数在各极点(多边形顶点)处的值比较后，取最值点为最优解。命题1线性规划问题的可行解集是凸集可行解集：线性不等式组的解0.2x1+0.05x2=415x1+10x2=450命题2线性规划问题的目标函数(关于不同的目标值)是一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近命题3线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到(穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点).求解可得生产计划x1=14,x2=24净收益f=80x1+45x2=2200（元）共用木材0.2x1+0.05x2=4（立方）共
4、需劳力15x1+10x2=450（工时）,单纯形法:使用线性代数的方法求解线性规划问题通过确定约束方程组的基本解,并计算相应目标函数值,在可行解集的极点中搜寻最优模型的标准化正则模型:决策变量:x1,x2,…,xn.目标函数:Z=c1x1+c2x2+…+cnxn.约束条件:a11x1+…+a1nxn≤b1,……am1x1+…+amnxn≤bm,模型的标准化过程10.引入松弛变量将不等式约束变为等式约束若有ai1x1+…+ainxn≤bi,则引入xn+i≥0,使得ai1x1+…+ainxn+xn+i=bi若有aj1x1+…+ajnxn≥bj,则
5、引入xn+j≥0,使得aj1x1+…+ajnxn-xn+j=bj.且有Z=c1x1+c2x2+…+cnxn+0xn+1+…+0xn+m.20.将目标函数的优化变为目标函数的极大化.若求minZ,令Z’=–Z,则问题变为maxZ’.30.引入人工变量,使得所有变量均为非负.若xi没有非负的条件,则引入xi’≥0和xi’’≥0,令xi=xi’–xi’’,则可使得问题的全部变量均非负.标准化模型求变量x1,x2,…,xn,maxZ=c1x1+…+cnxn,s.t.a11x1+…+a1nxn=b1,……am1x1+…+amnxn=bm,x1≥0,…,
6、xn≥0,讨论模型I模型可以标准化为求变量：x1,x2,x3,x4maxf=80x1+45x2s.t.20x1+5x2+x3=40015x1+10x2+x4=450x1≥0，x2≥0,x3≥0,x4≥0令x3=x4=0关于x1,x2求解方程(4),(5)可得x1=14，x2=24代入目标函数（3）得到f=80×14+45×24=2200令x2=x3=0关于x1,x4求解方程(4),(5)可得x1=20，x4=150f=80×20+45×0=1600令x1=x4=0关于x2,x3求解方程(4),(5)可得x2=45，x3=170f=80×0+4
7、5×45=2025令x1=x2=0关于x3,x4求解方程(4),(5)可得x3=400，x4=4500f=80×0+45×0=0令x1=x3=0关于x2,x4求解方程(4),(5)可得x2=80，x4=－350非可行解令x2=x4=0关于x1,x3求解方程(4),(5)可得x1=30，x3=－400非可行解最优解为x1=14，x2=24，目标函数值f=80×14+45×24=2200定义:若代数方程AX=B的解向量有n-m个分量为零,其余m个分量对应A的m个线性无关列,则称该解向量为方程组的一个基本解.在一个线性规划问题中,如果一个可行解也是
8、约束方程组的基本解,则称之为基本可行解命题4一个向量x是线性规划问题可行解集的一个极点,当且仅当它是约束方程的一个基本可行解.一般线性规划的数学模型及解法：minf
