波音公司飞机最佳定价策略.doc

《波音公司飞机最佳定价策略.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章方程求解本章学习目的：1．复习求解方程的基本原理和方法，掌握解方程的迭代算法；2．能利用MATLAB软件编写迭代算法程序，了解迭代过程的图形表示；3．熟练掌握用MATLAB软件的函数来求解方程和方程组；4．通过范例展现求解实际问题的初步建模过程和MATLAB程序设计。§2.1引言“方程是很多工程和科学工作的发动机”。研究大型的土建结构、机械结构、输电网络、管道网络，研究经济规划、人口增长、种群繁殖等问题时，简单的分析可以直接归结为线性或非线性方程组，复杂一些要用到（偏）微分方程，求数值解时将转化为n非常大

2、的方程组。若干世纪以来，工程师和科学家花了大量的时间用于求解方程（组），数学家研究各种各样的方程求解方法。本章我们就是要学习求解线性方程组、非线性方程（组）的方法，以及利用数学软件利用计算机对方程和方程组进行求解。§2.2方程的求解方法考虑求方程f(x)=0的解，我们通常采用这样的几种方法：因式分解法、图形放大法、数值迭代逼近法。1．因式分解法：这是我们最熟悉、常用的一种方法，这个方法的关键在分解因式，包括对多项式函数、三角函数和指数函数等的分解。但对于无法进行分解的函数则无能为力。2．图形放大法：由于计算机的

3、广泛应用，可以非常方便地作出函数f(x)的图形（曲线），找出曲线与x轴的交点的横坐标值，就可求出f(x)＝0的近似根。这些值尽管不精确，但是直观，方程有多少个根、在什么范围，一目了然。并且可以借助于计算机使用图形局部放大功能，将根定位得更加准确。3．数值迭代逼近法：利用图形的方法或连续函数的零点存在性定理，可以推知f(x)在某一区间内有根，我们就可以用数值方法来求方程的根，这就是迭代逼近法。迭代逼近法分为区间的迭代和点的迭代。区间迭代又分为对分法和黄金分割法；点的迭代又分为简单迭代法、单点割线法、两点割线法、牛

4、顿法等。迭代失败后又可以采用加速迭代收敛方法。各种迭代方法原理都很简单（详见教材p41），请同学们自学。2．2．1图形放大法用图形放大法求解方程f(x)＝0的步骤：（1）建立坐标系，作曲线f(x)；（2）观察f(x)与x轴的交点；（3）将其中的一个交点进行局部放大；（4）该交点的横坐标值就是方程的一个根；（5）对所有的交点进行相同的处理，就得到方程的所有解。例2.1求方程所有的根及大致分布范围，欲寻求其中的一个实根，并且达到一定的精度。（1）画出的图形；x=-6:0.01:6;y=x.^5+2*x.^2+4;p

5、lot(x,y)gridon;我们可以看出方程在－2～＋2范围有一个实根。（2）逐次缩小范围得到较精确的根。x=-2:0.01:2;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridonx=-2:0.01:-1.5;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridonx=-1.6:0.01:-1.5;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridon因此我们可以看出这个实根的值在-1.55~-1.5之间。2．2．1简单迭代法1．迭代算法步骤：对方程f(x)=0求解（1）对方程

6、经过简单变形得到（不是唯一的），x被称之为不动点；（2）设置为迭代初值，迭代过程为，n=0,1,2……（3）当两次迭代结果之差小于某个设定的误差值时，我们认为迭代结果是收敛的，可得到结果的近似值。例2．2求方程的非负实根。解：由于函数连续，并且在x=0和x=1处函数值符号相反，可以判断函数在区间（0，1）必有零点，即方程在（0，1）内必然存在根。（1）先将函数变形为；（2）设置迭代初值为0，编程进行迭代。n=1;x=0;y=exp(x)/3;ys=vpa(y,10);z=abs(y-x);whilez>10^(

7、-5)x=y;y=exp(x)/3;ys=vpa(y,10);z=abs(y-x);n=n+1;endn,y,ysn=21y=0.6190ys=.6190471917从该结果可以看出，迭代21次后两次迭代的结果误差值满足小于的条件，结果收敛，迭代结果为0.6190，若保留小数点后10位有效数字则结果为0.6190471917。例2．3用迭代方法求解方程解：（1）对方程变形为，有不同的形式，比如；(a)；(b)；……(c)（2）设定初始值为1，编程迭代求解x=1;y=1;z=1;fork=1:25x=x^3-x^

8、2-1;y=(y^2+y+1)^(1/3);z=1+1/z+1/z^2;endx,y,zx=-Infy=1.8393z=1.8393在程序中，函数x,y,z分别对应方程（a）（b）（c），从结果可以看出方程（a）不收敛，结果趋于负无穷大，方程(b)(c)收敛，结果为1.8393。而且，还可证明（b）比（c）收敛速度快。注：这段程序和例2.2有所不同，这里是设定了固定的迭代次数。2．迭代