布洛赫定理教学教材.ppt

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1、布洛赫定理例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带，2s带，2p带，3s带，3p带。内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电子所占据。自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级，而能量较高的能级很少有电子占据。Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固体的3p带也没有电子，是空带。如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。在3s带和3p带之间有一段能量

2、区域是永远不可能有电子的，这个能量区域叫禁带，也称带隙。2在Na的3s价带上，当温度为绝对零度时，只有一半的低能级被电子占据，另一半的(高)能级没有电子占据。能带中有一半的能级被电子占据的能级称为费密能级。而当温度大于绝对零度时，有一些电子获得了能量，跳到价带里的较高能级，而在相对应的较低的能级上失去了电子，产生了相同数量的空穴。能带中电子随温度升高而进行能级跃迁绝对零度时，所有外层电子占据低的能级；温度升高，部分电子被激发到原未被填充的能级3能带理论——研究固体中电子分布、运动的主要理论基础能带理论——定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点——晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的

3、间距——能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展——随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算——说明了导体、非导体的区别4能带理论是单电子近似的理论——把每个电子的运动看成是独立的、在一个等效势场中的运动单电子近似——最早用于研究多电子原子__哈特里－福克自洽场方法：——每个电子看做是在其他所有电子构成的平均势场中运动的粒子(哈特里思想)，将体系电子哈密顿算符分解为若干个单电子哈密顿算符的简单加和，每个单电子哈密顿算符中只包含一个电子的坐标，因而体系多电子波函数可以表示为单电子波函数的简单乘积(福克做法)。能带理论的出发

4、点——固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动___共有化电子5共有化电子的运动状态——假定原子实处在其平衡位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰理想晶体——晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动薛定谔方程为：晶格周期性势场任意晶格矢量。6一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第一步简化——绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上第二步简化——利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动第三步简化——所有离

5、子势场和其它电子的平均场是周期性势场7三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理能量本征值的计算——选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态的波函数按此函数集合展开电子波函数的计算——根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数——将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值8§4.1布洛赫定理——方程的解具有以下性质——布洛赫定理为一矢量——当平移晶格矢量——波函数只增加了位相因子布洛赫定理——势场具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程9布洛赫定理电子的波函数——布洛赫函数晶格周期性函数——布洛赫函数是

6、平面波与周期函数的乘积。布洛赫定理的证明——引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数——利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式10——势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量势场不变——在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符平移任意晶格矢量对应的平移算符11作用于任意函数——平移算符作用于周期性势场平移算符的性质各平移算符之间对易对于任意函数12平移算符和哈密顿量对易对于任意函数和微分结果一样13平移算符的本征值三个方向上的原胞数目引入周期性边界条件——T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时成为各平移算符的本

7、征函数总的原胞数14对于对于对于——整数15——引入矢量——倒格子基矢满足平移算符的本征值将作用于电子波函数16——布洛赫定理电子的波函数满足布洛赫定理——晶格周期性函数——布洛赫函数17平移算符本征值的物理意义1)——原胞之间电子波函数位相的变化2)、平移算符本征值量子数——简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同3)、简约波矢改变一个倒格子矢量18为了使简约波矢的取值和平移算符的本征值一一对应，将简约波矢的取值限制第一布