双曲线性质总结及经典例题.doc

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1、双曲线知识点总结1.双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i.焦点在x轴上：  顶点： 焦点：  准线方程 渐近线方程：或ii.焦点在轴上：顶点：. 焦点：.准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率.  ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） 例题分析定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为，则

2、离心率为点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，4设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若

3、PF1

4、：

5、PF2

6、=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12C．D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形，故选B。1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代

7、入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.[解析]抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则

8、PF1

9、·

10、PF2

11、的值是（）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2

12、】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率右准线为.作于N，交双曲线右支于P，连FP，则.此时为最小.在中，令，得取.所求P点的坐标为.【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲

13、线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是（）A.e>B.1【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由.∵双曲线中，故取e>.选D.【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C.D．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴.选B.【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【解析】设弦的两端分别为.则有：.∵弦中点

14、为（2，1），∴.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.∵M（1，1）为弦AB的中点，∴故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明

15、所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.课堂展示：1.如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）(A)(B)(C)(D)2.已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)(D)3.以

16、双曲线的右焦点为圆心，且