胡适耕-实变函数答案-第一章(B).doc

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1、第一章习题B36．若AΔB=AΔC，则B=C．证一：（反证）不妨设，x0B,且x0C1)x0A,则x0AΔB，x0AΔC这与AΔB=AΔC矛盾2)x0A，则x0AΔB，x0AΔC这与AΔB=AΔC矛盾所以假设不成立，即B=C．证二：同理，现在已知故上两式左边相等，从而．37．集列{An}收敛{An}的任何子列收敛．证由习题8集列收敛特征函数列收敛，由数分知识得数列收敛的任一子列均收敛，又由习题8可得收敛．38．设,则=Z，=Q．证　显然有1）假设使∴N>0,当n>N时，有，特别地，，∴m1,m2Z,使x=,x=∴=从而这与m2Z矛盾，所以假设不成立，即：=Z．2）xQ,则

2、m,nZ,使得x=∴x===…==…∴x,(k=1,2…),从而x∴=Q．39．设0<<1<,,，则=．证　1)　∵0<<1<,,∴当n>N时，有N时，[,]∴．2)　假设>1,使，则属于集列{}中的无限多个集合．又因为>1,，故当n>N时，有<，当n>N时，y从而只会属于集列{}中的有限多个集合．这与会属于集列{}中的无限多个集合矛盾．所以假设不成立，即,有．显然，有,故.综上所述，=．40．设：（）,(),求．解　1），(n)，故(n)．∴当n>N时，有．∴当n>N时，，从而．2），(n)，故(n)．∴当n>N时，有．∴∴=41．设{}为升列，，对任何无

3、限集,存在使为无限集，则含于某个．证　假设不含于任何中,又{}为升列，则对，，由于，故，使，即；对，，又故使．于是可取使．因此对，，．令={x1,x2,…xi…}，则且为无限集，但,Ani={x1,x2,…xi}为有限集，这与已知条件矛盾．∴假设不成立，即含于某个中．42.设:2x2x，当时(A)(B)，则存在使()=．证　因为，故子集族非空，令，下证：，即要证．首先由定义对每个成立，那么由已知就有对一切成立，从而．再证．为此，由的定义，只要能证就可以了．但从已证的，又由已知的单调性应有，故确定．43.设是无限集，:，则有的非空真子集，使()．证　x1X，若x1x2，令x

4、2=(x1若x2x3，令=()…若，令…1）若存在，则令={x1,x2,…xi}，显然()．2）若不存在,则令={x1,x2,…xi,…}，显然()．44.设

5、

6、>1,则有双射:,使得x:()；当

7、

8、=偶数或

9、

10、时可要求(())=()．证　（1）

11、

12、=2n+1,nN,则={x1,x2,…x2n+1}，作映射:，显然()是双射，且，有()．（2）

13、

14、=2n，nN,则={x1,x2,…x2n}，作映射:，显然是双射，且，有且．　(3)

15、

16、由×{0,1}～知，存在一双射令,又～及为双射，,知～且，，故可划分为两个互不相交等势的子集A1和A2。∵～∴在A1和A2之间存在一双射，记

17、为,:，作映射：，容易验证()是双射，且.45．设

18、

19、

20、

21、=

22、×

23、,

24、

25、,则

26、

27、=

28、

29、．证　因为，所以为无限集，任取中不同的两点，则有．所以．46.设

30、

31、=c，则:

32、

33、=c．证　令，则．由于

34、

35、=c，故存在双射：,记，则,～．对=(x1,x2,…)，令Pnx=xn,则Pn是到R1的一个映射．如果存在某个n，使PnBn=，则由c

36、

37、=

38、Bn

39、

40、R1

41、=c，可得

42、

43、=c．否则，若对一切n均有PnBnR1，且PnBn．那么对每个n，取R1PnBn,记，则．但因为Pn=PnBn，故Bn(n=1,2,…)，这与=相矛盾．因此必存在n，使得

44、

45、=c．47．

46、C[0,1]

47、=c．证　

48、首先，因为[0,1]上的常数函数都是[0,1]上的连续函数，故R与C[0,1]中的一个子集对等，即．其次，将中的有理数全体排成则任何一个连续函数都由它在上的值完全决定．事实上，对任何，存在上述有理数列的子数列，由的连续性．若，，则必有．否则将导致在一切点上均有，因此与实数列全体的一个子集对等．又实数列全体基数为，故，综上所述．48．

49、

50、=2C,是函数：RR之全体．证　（1）且

51、D

52、1,

53、Dc

54、1，由44题结论，上的一双射：其中，为D到D的双射且D,有()．且

55、Dc

56、=1，由44题结论及条件,容易找到两个不同的双射，，有，作上的双射：h()和g()h()=，g()=，由()

57、,g()及h()定义知，．（2）显然，其中．∵∴　　综上所述，有．49．设T是1维开集之全体，则

58、T

59、=c．证　设{为任意正数}则~，故，又，故；另一方面，对任何一组开集作单射，则由实数列集的全体的势为，知，于是．50．设

60、X

61、,B是双射：XX之全体，求

62、B

63、．证　（1）且

64、D

65、1,

66、Dc

67、1由44题结论，一双射：其中，为D到D的双射且D,有()且

68、Dc

69、=1．由44题结论及条件,容易找到两个不同的双射，，有，，作上的双射：h()和g()h()=，g()=，由(),g()及h()定义知，．（2）显然，其中，又，故．综上所述，有