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1、第2课时指数幂及运算一、分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：=____(a>0,m,n∈N*,且n>1)负分数指数幂规定：=____=____(a>0,m,n∈N*,且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂_________0没有意义判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.()(3)0的任何指数幂都等于0.()提示：(1)正确.引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂的形式,即(2)错误.分数指数幂不可以理解为个
2、a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.(3)错误.因为0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的.答案：(1)√(2)×(3)×二、有理数指数幂的运算性质(1)aras=____(a＞0,r,s∈Q).(2)(ar)s=___(a＞0,r,s∈Q).(3)(ab)r=____(a＞0,b＞0,r∈Q).ar+sarsarbr思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a＞0?提示：(1)若a=0，∵0的负数指数幂无意义,∴(ab)r=ar·br，当r＜0时不成立，∴a≠0.(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如∴a＜0时不成立.因此规定
3、a＞0.三、无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0,α是无理数)是一个确定的_____,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_________.思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=-1,则(-1)α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.实数同样适用【知识点拨】1.“三角度”理解分数指数幂(1)角度一：与根式的关系.分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)角度二：底数的取值范围.由分数指数幂的定义知a≤0，可能会有意义.当有意义时可借助定义将底数化
4、为正数，再进行运算.(3)角度三：运算性质.分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘.2.关于指数运算性质的四点说明(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a>0).(4)要会用文字语言来叙述运算性质.3.对无理数指数幂的理解(1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数.(2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理
5、数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算性质.对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：①aras=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).类型一根式与分数指数幂的互化【典型例题】1.下列互化中正确的是()A.(x>0)B.(y<0)C.(x,y≠0)D.2.将化为分数指数幂的形式是______.【解题探究】1.分数指数幂的底数a≤0时成立吗？如何处理？2.根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有
6、怎样的对应关系？探究提示：1.由分数指数幂的定义知a≤0，可能会有意义，当有意义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算，如等.2.根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.【解析】1.选C.故选项A不正确；选项B中，y<0，故选项B也不正确；故选项D不正确.2.答案：【互动探究】若将题2变为又如何化为分数指数幂的形式呢？【解析】【拓展提升】根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【变式训练】
7、等于()A.B.C.D.2【解析】选C.类型二利用分数指数幂的运算性质化简求值【典型例题】1.计算：=______.2.化简：【解题探究】1.对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的应如何化简？2.对于根式中含有多重根号的题目应如何处理?探究提示：1.负指数化成正指数，小数指数化成分数指数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.含有多重根号的题目，可以由内到外逐一化分数指数幂，边运算边化简；或都先化成分数指数幂，再进行幂的运算.【解析】1.原式=答案：2.原式=【拓展提升】1.幂的运
8、算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数进行运算.2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用
