向量与矩阵的定义及运算ppt课件.ppt

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1、第一章向量与矩阵的基本运算§1.1向量与矩阵的定义及运算定义1既有大小,又有方向的量称为向量(vector),又称矢量.n维向量可以用n个数构成的有序数组来表示.记作称为n维行向量；若记作2并称数ai为的第i个分量(i=1,2,...,n).n维行向量和n维列向量都可称为n维向量,n维向量常用小写黑体希腊字母表示.例：则称为n维列向量.3定义2设两个n维向量(1)如果他们对应的分量分别相等，即则称向量与相等，记作(2)加法(addition):称向量(a1+b1,...,an+bn)为与的和，记作4+OAB(3)数

2、量乘法(scalarmultiplication):设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与的数乘，记作伸缩变换5(4)分量全为零的向量(0,...,0)称为零向量，记作0.(5)称(－a1,－a2,...,－an)为的负向量，记作向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算.对任意的n维向量及任意的数k,l,向量的线性运算满足以下八条运算规律：6(加法交换律)(加法结合律)(数乘结合律)(第一分配律)(第二分配律)7注意:在上面的八条运算规律中只利用了向量的加法和数乘.但是,利用负向量的概念,依然可以定

3、义向量的减法运算:直观地说就是对应的分量相减,显然，向量还满足以下的性质：8例1解:9题中的可以表示为的形式,称可由向量线性表出,或称是的一个线性组合.为了简化记号,可以用连加号表示向量之和.因此题中的向量运算可表示为10是向量组的一个线性组合.例2证明:任意n维向量证明：由向量的线性运算，得11也即是例2(续)12二、矩阵定义3设P是复数集C的一个子集,含有0和1(零元和单位元).如果P中的任意两个数的和、差、积、商仍然在P中(即关于四则运算封闭),则称P为数域(numberfield).任意数域中含有1,故含有Z,从而含

4、有Q.因此Q是最小的数域.例:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,分别称为有理数域,实数域,复数域.而整数集Z不是数域.我们主要用到的是实数域和复数域.13引例1某商场9月份电视机销售统计表21寸29寸34寸48寸长虹康佳创维1540377213040107251810与数表对应14引例2线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3与数表对应上述问题必须引进一些新的概念,如矩阵.矩阵是一个非常重要的概念,不仅应用于线性代数,而且深入数学

5、,物理,计算机等学科领域中.15定义4数域P中sn个数排成的s行n列的长方形数表称为数域P上的sn矩阵(matrix)，aij称为矩阵A的第i行第j列元素(entry).16元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.sn矩阵A记为Asn或A=(aij)sn,在不引起混淆时简记为A=(aij).行下标列下标17一些特殊的矩阵：1.n阶矩阵(squarematrix):行数与列数相同,且都是为n的矩阵Ann称为n阶矩阵或n阶方阵.即a11,a22,...,an

6、n为A的主对角线上的元素.182.零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为0.注意：不同阶的零矩阵不同.3.行矩阵、列矩阵:称为行矩阵A1×n(rowmatrix);只有一行的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵An×1(columnmatrix).194.对角矩阵：除主对角线上元素外，其它元素都为零的n阶方阵.(i.e.aij=0,i≠j)称为对角矩阵(diagonalmatrix).记为205.单位矩阵：若对角线元素为1，其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩阵(identitymatrix),记为En(或In),简记为E.即2

7、16.数量矩阵：若对角线元素为k(k为常数),其余元素都为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵(scalarmatrix)，记为kE.即22矩阵的线性运算定义5设A=(aij)sn和B=(bij)sn是(数域P上)两个sn(同型)矩阵，则如果它们对应的元素分别相等，即aij=bij,(i=1,2,…,s;j=1,2,…,n),则称A与B相等，记作A=B.23(2)加法：称矩阵为A与B的和，记作A+B.24(3)数量乘法：设k为数域P中的数，称矩阵为数k与A的数乘，记作kA.25(4)负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元素

8、取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为－A.即26矩阵的线性运算性质2728解：由等式可得例设矩阵A、B、C满足等式3(A+C)=2(B－C)，其中求C.29例5设A=(aij)2×3,Eij表示第i行第j列元素为1，其余元素为0的2×3矩阵(i=1,2;j=1,2,3),如则A可