Chp9无穷级数习题课.ppt

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1、第九章无穷级数习题课(一)常数项级数一、定义及性质2．敛散性定义3．性质必要性:线性运算性质:则级数收敛，否则级数发散。设级数为常数则设，如果存在，级数收敛1．常数项级数4．常数项级数类型正项级数交错级数任意项级数常数项级数二、判别常数项级数收敛的解题方法若成立，则需作进一步的判别。判别常数项级数的敛散性，应先考察是否有成立。若不成立，则可判定级数发散；此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则

2、原级数条件收敛；对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。解题方法流程图如下图所示。对于任意项级数，一般应先考虑正项级数是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；解题方法流程图Yes判断的敛散性比值法根值法比较法找正项收敛级数找正项发散级数用其它方法证明No莱布尼兹判别法YesNoNoNoYesNoYesNoYes为正项级数为任意项级数发散收敛收敛发散条件收敛绝对收敛为交错级数收敛且三、典型例题，由定义所以原级数收敛，且和为1。【例1】判别级数的收敛性，并求级数的和。分析：此级数为正项级数，由于因此可利用定义求。解：由于由级数收敛的必要条件，原

3、级数发散。【例2】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，因为分别求分子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。解：因为而故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。【例3】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，根据的形式，可用比较审敛法，也可采用比值审敛法。解法1：此级数为正项级数，而级数为等比级数收敛，解法2：由比值审敛法故由比值审敛法知原级数收敛。,由于故转到应用比较判别法。由于【例4】判别级数的收敛性。而不存在，所以不存在。分析：此级数为正项级数，设而级数收敛，从而级数收敛；或将拆成两个级数，分别判定级数的收敛性。同理极限也不存在，即不能应用比值和根值判

4、别法，,由于解法1：设而由比值法易知级数收敛,故由级数的比较判别法知，级数收敛。解法2：因为所以，分别考虑和的敛散性。对于由比值法知收敛，所以，绝对收敛；同理得收敛，可知原级数收敛。收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。【例5】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数,由的形式，利用比值法和根值法均不合适，由于,可采用比较法。解：此级数为正项级数，令注：应用比较法判断一个正项级数的敛散性，最关键问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，级数等），然后根据的特点，进行有针对性的放缩。【例6】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，，由于中含有，可用比值审敛法。解：令所以

5、，原级数发散。由比值审敛法，当时，原级数收敛；当时，原级数发散。当时，比值审敛法失效，注意到注：在级数一般项中，若含有形如的因子时，适于使用比值审敛法。故由根值审敛法，原级数收敛。【例7】判断级数的敛散性.分析：此级数为正项级数,由于中解：此级数为正项级数，注：在级数一般项中,若含有次方时,适于使用根值审敛法。含有次方，可用根值审敛法。【例8】判断级数收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。解：此级数为交错级数，因为,而发散,原级数非绝对收敛.因为为交错级数,由莱布尼玆定理由比较审敛法知发散所以此交错级数收敛，故原级数是条件

6、收敛。所以在上单增，即单减，故当时，单减，令即原级数非绝对收敛。【例9】*判别级数的敛散性。分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。解：先考虑级数的敛散性。由于当时，而级数发散，故级数发散，即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。从而原级数条件收敛。注：在运用莱布尼玆定理判别时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。因为,其中所以在内单调递减，得于是由莱布尼兹判别法可得级数收敛，令证明：设级数和的部分和分别为和则【例10】若,级数收敛,证明级数收敛.没有具体表达式，只能将看成任意项级数,所以，考虑级数收敛定义。分析：因为题设给出了级数收敛,但即由于级数收敛

7、,所以存在,所以要根据级数收敛的定义知收敛.证明存在，只需要证明存在即可.根据题中的条件，所以，因此