平面曲线积分与路径无关的条件ppt课件.ppt

《平面曲线积分与路径无关的条件ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六节平面曲线积分与路径无关的条件第九章一、平面上曲线积分与积分路径无关的条件二、二元函数的全微分求积三、小结与思考练习31七月20211在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在一个例子中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本节将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.31七月20212Gyxo一、平面上曲线积分与路径无关的条件BA如果在区域G内有1.曲线积分与路径无关的定义31七月2021331七月20

2、214定理2两条件缺一不可注意：2.平面曲线积分与路径无关的条件31七月20215解:故原式31七月20216二、二元函数的全微分求积定理331七月2021731七月2021831七月2021931七月20211031七月20211131七月20211231七月202113(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关,只与L的起点及终点有关;(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立定理设D是单连通区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有

3、31七月202114例4计算曲线积分解由于31七月20211531七月202116与路径无关的四个等价命题条件等价命题内容小结31七月202117作业习题9-6P2212(2);3(2);31七月202118思考与练习解:31七月2021192.试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理1,曲线积分只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.为此,取取路线为图21-22中的折线段于是有31七月202120证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得所以31七月202121D内任意一

4、点.由(ii),曲线积分与路线的选择无关,故当在D内变动时,其积分值是的函数,即有取充分小,使则函数对于x的偏增量(图21-20).(ii)(iii)设为D内某一定点,为31七月202122因为在D内曲线积分与路线无关,所以因直线段BC平行于x轴,故,从而由积分中值定理可得其中根据在D上连续,于是有31七月202123同理可证所以证得(iii)(iv)设存在函数使得因此于是由一点处都有以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每31七月202124(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以

5、区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有的条件,就得到上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了它们是相互等价的.31七月202125例解应用定理1中的条件(iv)考察§2中的两个例子31七月202126问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.31七月202127例解31七月20212831七月202129问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.31七月202130注由定理1可见,若原函数可用公式或则求全微分的31七月202131