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1、第一章数理统计的基础知识第一节总体与样本第二节抽样分布第三节总体分布的估计1第一节总体与样本一.总体与样本现从该批产品中有放回抽取n次，以Xi：“0—第i次取到正品；1—第i次取到次品”(i=1,2,…,n)，得到n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，其中Xi~X，且相互独立。由此n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的概率分布为：上述X称为总体，(X1,X2,…,Xn)称为样本，其中Xi称为个体。例如：一批产品的次品率为p(未知)，设随机变量X：“0—正品；1—次品”。显然X~b(1,p)，概率分布为：P(X=x)=(1–p)1–xpx(x=0,1)。定义1：研究的对象称为
2、总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实际上总体就是一个随机变量X。为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。2一.总体与样本定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实际上总体就是一个随机变量X。为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。定义2：从总体中抽取的n个个体(X1,X2,…,Xn)称为样本，实际上样本就是一个n维随机变量(或向量)。简单随机样本：(X1,X2,…,Xn)是相互独立的随机变量(独立性)；且Xi~X(同分布)。样本容量n：样本中所含个体数
3、目，为已知的一个自然数。样本观察值：(X1,X2,…,Xn)=(x1,x2,…,xn)上例中，若某次抽样得：(X1,X2,X3,X4,X5)=(0,0,1,0,1)样本样本观察值3一.总体与样本2，若总体X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合密度为：1，若总体X为离散型随机变量，其概率分布为P(X=x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为：如上例：总体X~b(1,p)，概率分布为：P(X=x)=(1–p)1–xpx(x=0,1)则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为：二.样本分布42，若总体X为连续型随机变量，其概率密度为
4、f(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合密度为：二.样本分布例1：已知某型号显象管的使用寿命—总体X~U(a，b)，其中a，b未知。现从该批产品中有放回抽取n次，以Xi：“第i次取到产品的使用寿命”。得到一样本(X1，X2，…，Xn)，求样本的联合密度f(x1，x2，…，xn)。三.统计量为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数，可以求出一些事件的概率。5三.统计量为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)一般是一个一元随机
5、变量，利用其概率分布或密度函数，可以求出一些事件的概率。例2：已知某型号显象管的使用寿命——总体X~U(0，10)。现从该批产品中抽取容量为2的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数Y=X1+X2的密度函数，并求出事件P(Y<15)的概率。6例2：已知某型号显象管的使用寿命——总体X~U(0，10)。现从该批产品中抽取容量为2的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数Y=X1+X2的密度函数，并求出事件P(Y<15)的概率。例3：设总体X~b(1，p)。现从中抽取容量为2的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数Y=X12+X22的概率分布，并求出事件P(Y<15)
6、的概率。7例3：设总体X~b(1，p)。现从中抽取容量为2的样本，得到样本(X1，X2)，求样本的函数Y=X12+X22的概率分布，并求出事件P(Y≥1)的概率。三.统计量为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数，可以求出一些事件的概率。X2X1010(1-p)2p(1-p)1p(1-p)p2Y0120(1-p)22p(1-p)p28三.统计量为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函
7、数，可以求出一些事件的概率。若样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)不包含未知参数，称为统计量。常用的统计量：9若样本的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)不包含未知参数，称为统计量。常用的统计量：例4：(X1,X2,X3)是取自总体X~N(μ，σ2)的样本，(参数μ，σ未知)。下列函数哪些是统计量：解：1，2，3，6为统计量；4含有未知参数σ，非统计量。5因为X1~X，所以EX1=EX=μ(未知)，非统计量。10例4：(X1,X2,X3)是取自总体X~N(μ，σ2)的样本，(参数μ，σ未知)。下列函数哪些是统计量
