矩阵论简明程2.doc

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1、§3Jordan标准形介绍并不是任何一个方阵都能相似于对角阵，对于一般方阵，通过相似变换能化成的较简单的形式是什么呢？一、Jordan标准形的概念定义如下形式的分块对角矩阵，其中称为Jordan矩阵，称为阶Jordan块；特别地，一阶Jordan块就是。例如，矩阵就是一个Jordan矩阵，它包含四个Jordan块，，，。显然，Jordan块本身就是一个Jordan阵。对角矩阵也是一个Jordan阵，只不过它的每个Jordan块都是一阶的。定理（Jordan）每个矩阵都与一个Jordan矩阵相似，即存在可逆矩阵，使得。如果不计中Jordan块的排列顺序，则它由唯一确定，称为的Jordan标准

2、形。二、求Jordan标准形的方法方法1特征向量法结论若是方阵的单特征值，则它对应一阶Jordan块；若是的重特征值，且对应有个线性无关的特征向量，则的Jordan标准形中含有个以为对角元的Jordan块，且这个Jordan块的阶数之和等于。可见，只有在有重特征值的情况下，它才可能有二阶及二阶以上的Jordan块。说明如下：设，是的4重特征值，则对应的Jordan块可能出现以下几种情况：(1)对应有4个线性无关的特征向量时，Jordan块为；(2)对应有3个线性无关的特征向量时，Jordan块为；(3)对应有2个线性无关的特征向量时，Jordan块为或；(4)对应有1个线性无关的特征向量时

3、，Jordan块为。例求下列矩阵的Jordan标准形：1)；解可求得，所以的特征值为。又对应有2个线性无关的特征向量（或秩为1），故的Jordan标准形为（或）。2)。解可求得，所以的特征值为。又对应只有一个线性无关的特征向量，故的Jordan标准形为，（或）。上述方法的缺点是，当的某个特征值的重数为4或大于4时，其对应的Jordan块可能无法确定。方法2初等变换法定义1设矩阵，其中均是的多项式，则称为-矩阵或多项式矩阵。相应地可以定义-矩阵的秩的概念。定义2对-矩阵进行的如下三种变换称为初等变换：交换两行（列）；若交换两行（列），记为（）；用数乘某行（列）；若乘第行（列），记为（）；将某

4、一行（列）的倍加到另一行（列）上，其中是的多项式；第行（列）的倍加到第行（列），记为（）。结论-矩阵总可以通过初等变换化为如下形式的矩阵，其中均是首一多项式，且，且是由唯一确定的，称之为的Smith标准形，称为的不变因子。在用初等变换法求矩阵的Jordan标准形时，是对的特征矩阵这一特殊的-矩阵用初等变换化为Smith标准形来进行的。举例说明如下：例求下列矩阵的Jordan标准形：1）；解第一步：对用初等变换化为Smith标准形：=从而的不变因子（有时称为的不变因子）为。第二步：再把的每个次数大于零的不变因子（此处是和）分解成关于的不同的一次因式方幂的乘积，并分别写出这些方幂（相同的按出现

5、的次数计数），称之为（或）的初等因子。此题中的初等因子为和。第三步：对每个初等因子作出阶Jordan块，所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即是的Jordan标准形。此题中的Jordan标准形为。2）。解=的不变因子为的初等因子为的Jordan标准形为例已知一个12阶矩阵的不变因子是，，求的Jordan标准形。解的初等因子为，，，，，，故的Jordan标准形为：。方法3行列式因子法定义-矩阵中所有阶子式的首一最大公因式称为的阶行列式因子，记为。结论1（）结论2设是的不变因子，则结论3若-矩阵经过初等变换变成，则与的行列式因子相同。用行列式因子法求方阵的Jordan标准形时

6、，是对求其行列式因子，再求不变因子和初等因子而得到Jordan标准形的。例求下列矩阵的Jordan标准形：1）；解的一阶子式共有9个，显然。二阶子式共有个：，，，，，，，，所以。又，故。从而的不变因子为，，；的初等因子为，；的Jordan标准形为2）；解，其中三阶子式，故，从而。又有，所以，的不变因子为的初等因子为；的Jordan标准形为。3）。解中5阶子式，所以。又=的不变因子为的初等因子为的Jordan标准形为。例求矩阵的Jordan标准形。解，。3阶子式因为整除所有3阶子式，且，所以===1。的不变因子为1，1，1，。故