2010届高三数学高考考前复习：函数模型及其应用热点探析教案.doc

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1、第十一节函数模型及其应用——热点考点题型探析一、复习目标：1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。二、重难点：重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。三、教学方法：讲练结合，探析归纳。四、教

2、学过程（一）、热点考点题型探析考点1一次函数、二次函数模型的应用[例1]某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）。（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?〔注：收益＝实际用电量×（实际

3、电价－成本价）〕[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式，然后再列出不等式求解[解析]（1）设下调后的电价为x元／（千瓦·时），依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.（2）依题意有整理得解此不等式得0.60≤x≤0.75.答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.[反思归纳]函数应用问题是高考的热点，解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知

4、什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。用心爱心专心第二步：引进数学符号，建立数学模型。一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答。考点2指数函数、对数函数模型的应用[例2]小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后

5、上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：项目1年期2年期3年期5年期年利率1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．[解题思路]小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首

6、先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？因为，所以，[解析]根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较与的大小关系：因为，，所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．用心爱心专心（2）比较和的大小．，，所以，<．所以，只需比较，，．因为：，，．所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．[

7、反思归纳]本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程；另外要注意：在区间上，函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，表现为指数爆炸；而的增长速度越来越慢；的图像逐渐表现为与轴平行，的图像逐渐表现为与轴平行。因此总会存在一个，当时，有。考点3分段函数模型[例3]通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学

8、习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散.