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时间:2020-05-25
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1、插值法生产实践中常常出现这样的问题:给出一批离散样点,要求作出一条通过这些点的光滑曲线,以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上,即已知函数在一些点上的值,寻求它的分析表达式。因为由函数的表格形式不能直接得出表中未列点处的函数值,也不便于研究函数的性质。此外,有些函数虽有表达式,但因式子复杂,不容易算其值和进行理论分析,也需要构造一个简单函数来近似它。解决这种问题的方法有两类:一类是给出函数的一些样点值,选定一个便于计算的函数形式,如多项式、分式线性函数及三角多项式等,要求它通过已知样点,由此确定函数作为
2、的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后,不要求近似函数过已知样点,只要求在某种意义下他在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线(数据)拟合法。1、拉格朗日(Lagrange)插值1.Lagrange插值多项式先讨论只有两个节点,的插值多项式。由前所述,插值多项式应设为,且满足插值条件解此方程组得,0所以,两个节点的一次插值多项式为(5-6)这是用过两点,的直线近似曲线,故这种插值又称为线性插值。如果将式(5-6)改写成以下形式(5-7)式(5-7)中,被表成两个线性函数的线性组合。记
3、,显然,它们满足,,即在对应的插值点处的取值为1,在其他点处取值为0,不难想象,以对应点处的函数值为系数对它们作线性组合所得的函数,不仅仍是线性的,且必定满足插值条件。由此得到启发,当节点增多到个时,可以先构造次多项式,它们满足(5-8)然后以对应点处的函数值为系数作线性组合,即得所要求的插值多项式。下面推导的表达式。由式(5-8),多项式有个根,且,故它必定是以下形式(5-9)这些函数称为Lagrange插值基函数。利用它们立即得出插值问题的解(5-10a)事实上,因为每个插值基函数都是次多项式,故是至
4、多次多项式。由式(5-8)又得即满足插值条件式(5-2)。式(5-10a)称为次Lagrange插值多项式。为了以后便于区别,常用代替,以突出表示这是由Lagrange插值所得到的插值多项式,即(5-10b)由前面讨论的结果,个节点的次Lagrange插值多项式存在唯一,式(5-5)为插值余项。式(5-10b)形式对称,容易编制程序。2、牛顿(Newton)插值如果将直线用点斜式方程表示,即把线性插值公式改写成以下形式(5-13)由此导出插值多项式的又一种表示形式——牛顿插值公式。2.1差商定义5.1设有
5、函数为一系列互不相等的点,称为关于点的一阶差商(也称均差),记为,即类似于高阶导数的定义,称一阶差商的差商为关于点的二阶差商,记为。一般地,称为关于点的阶差商,记为(5-14)2.2Newton插值公式按定义5.1线性插值公式(5-13)可表示成(5-17)式(5-17)称为一次Newton插值多项式。一般地,由各阶差商的定义,依次可得将以上各式分别乘以1,,,,,然后相加并消去两边相等的部分,即得(5-18)记(5-19)(5-20)则显然,是至多次的多项式。而由得。这表明满足插值条件式(5-2),因而
6、它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。3、埃尔米特(Hermite)插值如果对差值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite插值问题。3.1Hermite设已知函数在个互异节点上的函数值和导数值,要求一个至多次的多项式,使得(3-1)满足条件(3-1)的多项式称为Hermite插值多项式。我们仍采用构造插值基函数的方法来求Hermite插值多项式。可以设想,如果有两组函数,它们满足:(1)都是至多次多项式;(
7、2)(3-2)则多项式必定满足插值条件式(3-1),且次数不超过。按条件式(3-2),在处函数值与导数值均为0,故它们应含因子,因此可以设为(3-3)其中为Lagrange插值基函数。由条件式(3-2),还应满足代入式(3-3),得其解为。所以(3-4)同理,由于在处的函数值与导数值均为0,而,故可设代入条件式(3-2)得于是,因此(3-5)所以Hermite插值多项式为(3-6)特别地,当时,有所以,两个节点的三次Hermite插值多项式为(3-7)3、样条插值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光
8、滑性有较高要求,如飞机的机翼外形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,而且要有连续的曲率,即二阶导数连续。这就导致了样条插值的产生。4.1三次样条插值利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如,分段线性插值是一次样条插值。下面只介绍三次样条插值,即已知函数在区间上的个节点上的值,求插值函数,使得(1);(2)在每个小区间上是三次多项式,记为;(3)在上二阶连续可微,则函
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