小学奥数资料：工程问题教师版.doc

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1、第二讲工程问题知识点拨工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时

2、间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，

3、单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题基本题型【例1】一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】

4、将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要天能够完成．【例2】一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做天能完成．【巩固】一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天

5、完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成．【例3】甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【解析】乙单独加工，每小时加工甲调出后，剩下工作乙需做时所以乙每小时加工零件(个)，则小时加工(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)．【巩固】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6

6、天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。　如果甲独做，所需时间是天如果乙独做，所需时间是天；甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.【例2】一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多

7、少天？【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：甲乙，乙丙，乙因此不难得到丙的工作效率为，因此三个人的工作效率之和为，也就是说，三个人合作需要12天可以完成。本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【解析】法一：和上题类似，我们可以有：甲乙，

8、乙丙，丙不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，即甲丙合作12天能完成。法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢？不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：，也就是说：，所以甲丙合作天能完成。【巩固】一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?【解析】方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙