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1、§3协方差及相关系数返回目录则称其为X与Y的协方差(Covariance)为X与Y的相关系数或称为X与Y的标准协方差定义若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,计算公式协方差的性质：(a,b是常数)定理证明:证明:称X与Y正相关.称X与Y负相关.证明：称X与Y不相关.若X与Y相互独立,则X与Y不相关.X与Y相互独立,∴X与Y不相关(X与Y不相关)X与Y不相关X与Y相互独立求：例1随机变量(X,Y)的分布律为:解:例2设随机变量X和Y的联合密度为求：解:例3已知求：解:例4设X的分布律为:求ρXY,并讨论X与Y的独立性.解:∴X与Y不独
2、立.X与Y不相关.(1)不相关的随机变量不一定独立;(2)不相关不是没有关系,而是没有线性关系.本例说明:求X和Y的相关系数.例5设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立的充要条件是X与Y不相关.思考题：1.二维随机变量独立与不相关有什么关系？相关系数表示什么？2.二维正态分布的联合密度函数与边缘密度函数有什么关系？思考题答案：相关系数绝对值的大小反映了随机变量间线性关系的密切程度.X与Y不相关1.X与Y相互独立当ρ取不同值时,表示不同的二维正态分布.而边缘分布与ρ无关,所以不同的联合分布可以有相同的边缘分布.对于不相关的两个正态随机
3、变量,联合分布可以确定边缘分布,边缘分布也惟一确定联合分布.其它分布不具备这性质.2.二维正态分布的边缘分布是一维正态分布当保持不变时,ρ可以取不同的值.练习题：1.随机变量X~b(n,p),Y服从参数为λ的指数分布,则有(),则有()4.如果ξ,η独立,则()3.ξ与η独立,其方差分别为6和3,则=()(1)9；(2)15；(3)21；(4)275.设ξ,η为两个随机变量,则()(1)2.4；(2)14.4；(3)-2.4；(4)–14.46.设随机变量X与Y的方差存在且不等于0,则是X与Y()(1)不相关的充分条件,但不是必要条件.(2
4、)独立的充分条件,但不是必要条件.(3)不相关的充分必要条件.(4)独立的充分必要条件.7.关系式表示随机变量X与Y()(1)相互独立(2)不相关(1)求,(2)X与Y是否相关？是否独立？9.设二维随机向量的联合分布为8.设随机变量X与Y的相关系数为0.5，则11.设二维随机变量ξ,η的联合密度函数为求的相关系数.10.设随机变量X和Y的联合密度为求X和Y的相关系数.14.利用二维正态分布的结论,有13.设二维随机向量(X,Y)服从则X和Y的协方差Cov(X,Y)=15.设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布,且求(X,Y)的联合概率密度
5、函数.16.设二维随机向量(X,Y)的密度函数为(1)求随机变量X和Y的密度函数,X和Y的相关系数;(2)问X和Y是否独立?为什么?其中与都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1.练习题答案：1.(3)；2.(2)；3.(4)；4.(2)；5.(1)；6.(3);7.(2)9.X与Y不相关.∴X与Y不独立.10.解:12.解:；14.1；16.解:同理(2)不独立
