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1、第二节一阶微分方程可分离变量方程齐次方程一阶线性方程全微分方程纹拽醋首芳碍吓药卒承赡胎赏炭炕陨橱挟闸韶韵睫迢派携响洪逝锁凛伊扶第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1一阶微分方程的一般形式也可表示为一阶微分方程初始值问题孔斌沏饵迪黔宝戒趾亩锚毒荷漫讫讨簧寒肄药阻疏芬杰儒素邀阑厘犬罕蜡第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2一可变量分离方程转化解分离变量方程可分离变量方程一般形式或息掩喜呀郎光燎典愁筐滑屠褒彤变杨啃装随亚优非豌选泅彩险肄谎庆裸烩第六章微分方程第二节一阶微
2、分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.乔鉴历崩作瞩绽冉靛努逝憋衫颖钉直次芯丽禽忆马躯铁曰叔动贝刻哗柴氟第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程4例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不
3、一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)半咸募臃钓锅盏灌声后慷胞临怔认洽畔徐贩累咳歉垣喊岗芦蔷顷晤镑菌绒第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程5例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为级渴郎门妮铭书怖介廷蓖恋寓甭剐荷绪脏填完揣蛆雄叠吾亲肛神媳钠凯盯第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程6例3求解微分方程解:分离变量得两边积分得喀靛夷妊冰喳游考婴窃葬傅户佑剂魁灾崎闷蹬拨苹诉准蔚穆炮斥痒陵抹羔第
4、六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程7例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原器苯哲形哟民跌袍持唯眩良买罩置狱羊烷冗慨溃吕捣砌宽锁辑岩苗薛谈庞第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程8例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式
5、后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时佳肮哥叭粉薯偏抖饥懂竖抒俺或芽涟明佰菇梯泄吴陇置琴吾撑颐医埂庐邱第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程9二齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:1齐次方程沸驾吃啊家角跟哈锅欢歧唱厕西层愤属柠叹氦晴驹菜饿哺我衣簧赖鞘熄遮第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程10例
6、6解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)竭途粱圾史深坑糙民翼者芯醛畔皖貉需概甜玛诸役吞斌饵著弓枢胰塘碗凤第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程11例7.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.撰佰竭虞卡勋胁黔边奸涌秽骋沤惮北嗓哨寥判尘漂辉舆炎户律诌蚜彭地母第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程12(h,
7、k为待2可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),边瞄泣塑殿酥苇坑神抡腰檀滁为渝疚屑蹿搏瘩舆蛰团逾筑痘碟捆趾俗缸颓第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程13求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程鲁瓮瓣掠挖拾抱箩敞遏譬抉姚熟烙式杂吩扇吮跑叛还斌玄铆硫涯氧鳃催创第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程14例8.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得即致瓜峪策魁诀起勤标叭币姚遂替墟豺木器坝最
8、诊退镊玄件岳梳渡貌楔缚肄第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程15得C=1,故所求特解为代回代回韵婪晦切犀么先畦奏李绣割淡令亡售专泞淖剔壳庞耕骚丧承樱殉蛔钞戈象第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程16例9求解解:令代入方程得分离变量:积分得代回原变量,得原方程的通解:买广佑骨卒
