动态规划法若干问题.doc

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1、八、动态规划法经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列

2、X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。考虑最长公共子序列问题如何分解

3、成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；（3）如果am-1!=bn-1，则若z

4、k-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长

5、公共子序列。定义c[j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[j]可递归地表述如下：（1）c[j]=0如果i=0或j=0；（2）c[j]=c[i-1][j-1]+1如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；（3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]）如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1]，故可以从c[m][n]开始，跟

6、踪c[j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。#include#include#defineN100chara[N],b[N],str[N];intlcs_len(char*a,char*b,intc[][N]){intm=strlen(a),n=strlen(b),i,j;for(i=0;i<=m;i++)c[0]=0;for(i=0;i<=n;i++)c[0]=0;for(i=1;i<=m;i++)for(j=1;j<=m;j++)if(a[i-1]==b[j-1])c[j]=c[

7、i-1][j-1]+1;elseif(c[i-1][j]>=c[j-1])c[j]=c[i-1][j];elsec[j]=c[j-1];returnc[m][n];}char*buile_lcs(chars[],char*a,char*b){intk,i=strlen(a),j=strlen(b);k=lcs_len(a,b,c);s[k]=’’;while(k>0)if(c[j]==c[i-1][j])i--;elseif(c[j]==c[j-1])j--;else{s[--k]=a[i-1];i--;j--;}returns;}

8、voidmain(){printf(“Entertwostring（<%d）!”,N);scanf(“%s%s”,a,b);printf(“LCS=%s”,build_lcs(str,a,b));}