第1章应用时间序列分析—差分方程(东北财经大学).doc

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1、应用时间序列分析---现代时间序列分析的最新方法王雪标东北财经大学数学与数量经济学院第一章差分方程统计程序主要是用来处理从独立试验或调查而得到的数据：。与顺序无关。一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如，每月失业人数，每年GDP，…，等等。对一些序列来说，在每时刻都可做观测，并得到一列数据。这时称为连续时间序列，记。然而，在经济学中，大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。这样形成离散时间序列，记。一个观测到的序列可看作是一个随机过程的实现。在统计学中我们主要分析来自总体的样本，而在时间序列分析中我们主要分析来自随机过程的观测序列（实

2、现）。时间序列分析的基本目的是对随机过程的基本特征、性质做推断。因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，对经济现象进行解释、假设检验和预测。在分析中的第一步通常是形成一个统计量。最终目的是利用数据构造模型，这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。因此他们建立了一系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、季节性部分、周期性部分和不规则性部分。趋势性方程：季节性方程：无规则性方程：为期随机扰动项。这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机变量的函数。时

3、间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程。估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。含有随机元素的差分方程通常假设有下面形式：处值=处值的期望+误差项误差项通常取为白噪声序列。如果将处值的期望取为期值的固定比例，这时就是一阶自回归。如果将处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。线性差分方程（p阶）这个差分方程的一般解是这里是齐次方程的解，是特解。这里的滞后算子表示为：，对于一阶齐次方程则，解为，是依赖于初值的常量。对于二阶齐次方程则，可能的解的形式为代回方程得，如果是方程的根，则确实是方程的解。可利用初值的条件，确定。对于一般的p阶方程有解这里是方程的根（假设没

4、有重根）。如果是复根，则有共轭对应，形为，对于充分大的，解的形式将由所控制，。如果，解是平稳的。如果，解是爆炸性的。解是平稳的充分必要条件是：的根在单位园之外，把它称为平稳性条件。本课程将介绍一维和多维时间序列的预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的还是随机性的）；随机向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。虽然时间序列分析的主要内容是预测，经济学的动态变化使时间序列分析又有新的应用。许多经济理论有随机差分方程表示。而且，许多重要经济变量的时间路径都具有可检验性。看下面三个例子：1．随机游动假说：随机游动模型解

5、释了股票每天价格的变化应该有零均值。如果已知在t天买一份股票，在下一天卖掉可以得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。同样，如果一份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。这个模型认为：股票价格应当满足随机差分方程或这里在t天一份股票的价格有零均值的随机扰动项。现在考虑更一般的随机差分方程检验随机游动假设就是检验限制条件，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。2．导出（reduced）型方程和结构方程：将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题，考虑Samuelson(1939)的经典模型：（1.1）(1.2)(1.3)这里和表示在t期实际GDP、消费和投资。

6、在这个Keynesian模型中，和是内生变量。前一期GDP和前一期消费被称为前定的或滞后的内生变量。称为消费和投资的零均值扰动项，是要估计的参数。第一个方程说明：总产出（GDP）等于消费与投资之和。第二个方程说明：消费等于前一期的GDP的比例加上随机扰动项。第三个方程是加速原理：投资和消费变化成比例，消费的增长促使了新的投资。误差项代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。方程（1.1）是结构方程（内生变量与其它内生变量当期之间的关系），内生变量依赖于其它内生变量、的现期实现。导出型方程是将一个内生变量表示成它的滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的现值和滞后值及扰动项的方程。按此说法，消

7、费函数（1.2）是导出型：现期消费只依赖于滞后收入和随机扰动项的现期值。投资方程（1.3）不是导出型，因为它依赖于现期消费。为了得到投资的导出型方程，将（1.2）代人投资方程中，得注意，上方投资的导出型方程不是唯一的。可以将（1.2）滞后一期获得，利用这个表达式，导出型投资方程可写成（1.4）同样，对于GDP的导出型方程可通过将（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得（1.5）方程（1.5）是一维导出型方程；可表示成本