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1、Ch.2控制系统的状态空间模型目录(1/1)目录概述2.1状态和状态空间模型2.2根据系统机理建立状态空间模型2.3根据系统的输入输出关系建立状态空间模型2.4状态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5传递函数阵2.6线性离散系统的状态空间描述2.7Matlab问题本章小结传递函数阵(1/1)2.5传递函数阵对于SISO线性定常系统,标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统,将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵,可用来表达系统输入与输出间的信息
2、动态传递关系。下面将从状态空间模型出发,分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义由状态空间表达式建立系统的传递函数阵,以及组合系统的状态空间模型和传递函数阵传递函数阵的定义(1/2)2.5.1传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前,需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么我们可对矩阵函数和向量函数进行拉氏变换及其拉氏反变换。传递函数阵(2/2)对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s
3、)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。由状态空间表达式求传递函数阵(1/1)2.5.2由状态空间表达式求传递函数阵前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。主要内容有:传递函数矩阵的推导函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算传递函数矩阵的推导(1/7)1.传递函数矩阵的推导前
4、面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。传递函数矩阵的推导(2/7)对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI
5、-A)-1BU(s)传递函数矩阵的推导(3/7)—例2-12将上述X(s)代入式(2-60)中的输出方程,有Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)因此,可得线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有G(s)=C(sI-A)-1B例2-12求如下系统的传递函数传递函数矩阵的推导(4/7)—例2-12解(1)先计算逆矩阵C(sI-A)-1B代数余子式代数余子式传递函数矩阵的推导(5/7)—例2-12(2)由传递函数计算公式可得由于状态变换仅对状
6、态变量进行,保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态关系不变。因此,有如下结论:描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。传递函数矩阵的推导(6/7)上述结论按下面的步骤是很容易证明的。证明设系统的状态空间表达式为(A,B,C,D),相应的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对此系统作线性状态变换,则相应的状态空间表达式为,相应的传递函数阵其中传递函数矩阵的推导(7/7)因此有=CP(sI-P-1AP)-1P-1B+D=CP[P-1(sI-A)-1P]P-1B+D=C(sI-A)-1B
7、+D=G(s)即证明了传递函数阵对状态变换具有不变性。函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算(1/4)2.函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算在传递函数矩阵的许多分析与计算问题中,涉及函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵(sI-A)-1的计算问题。当系统的阶数较高(方阵A的维数较大)时,应用此方法将会遇到多项式矩阵函数的逆阵的计算量大,计算困难问题。下面介绍一种计算的实用递推算法,其证明可从相关的《矩阵分析》的书籍中找到。函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算(2/4)设A为nn维的矩阵,则sI-A的逆阵为(sI-A)
8、-1=adj(sI-A)/
9、sI-A
10、其中adj(·)为伴随矩阵,
11、sI-A
12、为如下特征多项式:
13、sI-A
14、=sn+a1sn-1+…+an-1s+an由伴随矩阵的定义可知,adj(sI-A)可表示为如下多项式矩阵函数adj(sI-A)=sn-1I+sn-2B2+…+sBn-1+Bn其中矩阵Bi(i=2,
