中学生标准学术能力诊断性测试清华大学12月测试理科数学试卷一卷.doc

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1、中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f(x)=ln(a-3x)的定义域为A，若4A，5A，则a的取值范围是（）A．（12,15）B．[12,15)C．（12,15]D．[12,15]2．已知变量x,y满足约束条件，则z的取值范围是（）A．[2，4]B．C．[3，5]D．3．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都

2、是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．4．直线l过拋物线y2=2px(p>0)的焦点F，与该拋物线及其准线依次交于A、B、C三点（其中B在A、C之间），若

3、BC

4、=3

5、BF

6、，

7、AF

8、=3，则p=（）A．2B．C．3D．45．定义，若展开式中x一次项的系数为m，则等于（i为虚数单位）（）A．-iB．iC．1D．-16．函数f(x)=的大致图象是（）ABCD7．已知正项等比数列{an}的公比不为1，Tn为其前n项积，若T3=T7，则（）A．5:3B．3:5C．5:1D．1:58．在△ABC中，A,B,

9、C的对边分别是a,b,c.若A=120°，a=1，则2b+3c的最大值为（）A．3B．C．D．9．已知a>b>0，有下列命题：①若-=1，则a-b<1；②若a2-b2=1，则a-b<1；③若a3-b3<1，则a-b<1；④若a4-b4<1，则a-b<1；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．410．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为R，圆心角为π的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（）A．B．C．D．11．椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左焦点为F，若△ABF外接圆的圆心在直线y=x的右下方，则

10、此椭圆的离心率的取值范围是（）A．(,1)B．(0,)C．(0,)D．(,1)12．已知函数f(x)=

11、x-a

12、-+a(aR)，若方程f(x)=2有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．(1+,3)B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f(x)=log3

13、ax+1

14、图象的对称轴是x=2，则非零实数a的值为．14．已知A(1,1)，B(0,1)，C(1,0)，M为线段BC上一点，且，若，则实数的取值范围是．15．设F1、F2是双曲线的左右焦点，M是双曲线上任意一点，过F1作∠F

15、1MF2平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程是．16．若对任意的xD，均有成立，则称函数f(x)为函数g(x)和函数h(x)在区间D上的“M函数”．已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=-3，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)和h(x)在区间[1,2]上的“M函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f

16、(x)的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足asinB+bcos2A=bcosA，求f(B)的取值范围．18．12分）如图，正方形ADEF与□ABCD所在的平面互相垂直，且AB=2AD=2a，∠BAD=60°,G为BD的中点．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCE；（Ⅱ）求平面CGE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z作为一项质量指标，由测量结果得如下频率

17、分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差s2（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P(185.03

18、B的左侧），且

19、AB

20、=a(a>0)，过AB作x轴的垂线，与抛物线,y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点.（Ⅰ）若a=p，点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线CD的斜率；（Ⅱ）若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围.21．（12分）已知函数f(x)=(ax+