复变函数论第三版钟玉泉ppt 7 共形映射 shuppt课件.ppt

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1、7.1解析变换的特性7.1.1解析变换的保域性7.1.2解析变换的保角性7.1.3单叶解析变换的共形性第七章共形映射2021/7/281定理7.1(保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.证首先证明G的每一点都是内点.设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:

2、z-z0

3、=R,显然f(z0

4、)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.1解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有对在邻域2021/7/282因此根据儒歇定理,在C的内部与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t)[t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于

5、G的折线联结起来.（连通性）一条连接w1,w2,内接于且完全含于G的折线1总结以上两点,即知G=f(D)是区域.2021/7/283证因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.定理7.2设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.注定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.注满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.定理7.3设函数w=f(z

6、)在点z0解析,且f(z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.2021/7/2847.1.2解析变换的保角性—导数的几何意义设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z)的参数方程应为则且必存在它的倾角为Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲线由定理7.3及第三章习题(一)13,在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.又由于故在w0=f(z0)也有切线，设其倾角为，则就是切向量,2021/7/285C

7、x0yzz0z0+∆z图7.1w=f(z)uv0ww0w0+∆w且（7.1）（7.2）如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：(7.1)说明:象曲线在点的切线正向,可由原曲线C在点的切线正向旋转一个角度得出。仅与有关,而与经过的曲线C的选择无关,称为变换在点的旋转角。—导数辐角的几何意义.(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是,它仅与有关,而与过的曲线C的2021/7/286方向无关,称为变换w=f(z)在点的伸缩率.这也就是导数模的几何意

8、义.上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将处无穷小的圆变成处的无穷小的圆,其半径之比为.上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.上式可视为2021/7/287经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.Ox(z)z0定义7.1若函数w=f(z)在点的邻域内有定义,且在点具有:(1)伸缩率不变性;(2)过的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0

9、保持方向;则称函数w=f(z)在点是保角的,或称w=f(z)在点是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.z0z02021/7/288转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w02021/7/289相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等