log计算知识讲解.doc

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1、概念如果a^x=N(a>0,且a不等于1)，则数x叫做以a为底N的对数，记做x=log（a）（N）　，其中a要写于log右下。[1]对数性质与运算法则如下。性质①loga(1)=0；②loga(a)=1；③负数与零无对数.对数恒等式a^logaN=N(a>0，a≠1）运算法则①loga(MN)=logaM+logaN；②loga(M/N)=logaM－logaN；③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。定义：若a^n=b(a>

2、0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)推导：1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]由指

3、数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3、与（2）类似处理M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)4、与（2）

4、类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则

5、log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]=(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..

6、②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。换底公式拓展：以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）  推导公式log(1/a)(1/b)=loga(b)loga(b)*logb(a)=1求导数(logax)'=1/xlna特殊的即a=e时有(logex)'=(lnx)'=1/x1月10日　　　　1月

7、11日　　　　1月12日　　　　1月13日　　　　1月14日　　　　1月15日　　　　1月16日　　　　1月17日　　　　1月18日　　　　1月19日