考研数学《线性代数》考点知识点总结.docx

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1、第一章行列式二元线性方程组：，，，排列的逆序数：（为排列中大于且排于前的元素个数）为奇数奇排列，为偶数偶排列，标准排列。n阶行列式：=t为列标排列的逆序数．定理1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数定理2：n阶行列式可定义为=．行列式的性质：1．D=DT，DT为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．记作：（）．推论：两行(列)完全相同的行列式等于零．记作：（）．3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k．记作：（）．推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．记作：（

2、）．4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：（）．5．上式为列变换，行变换同样成立．6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．记作：()，不变．注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式．对角行列式，上D（下DT）三角形行列式若对设，若2n阶行列式，则有D=D1D2．有D2n=(ad-bc)n．余子式：n阶行列式中把所在的第行和第列去掉后，余下n-1阶行列式．代数余子式：引理：n阶行列式D中，若第行所有元素除外都为零，则有．定理3：(代数余子式性质)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机

3、之和．推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零．或其中范德蒙德行列式：＝．证明用数学归纳法．克拉默法则：设方程组，若，则方程组有惟一解：，其中　．定理4：若上线性方程组的系数行列式，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则．定理5：若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则．第二章矩阵及其运算n阶单位矩阵(单位阵)：．对角矩阵(对角阵)：另可记作．纯量阵：，．矩阵与矩阵相乘：若是一个矩阵，是一个矩阵，且，则是一个矩阵，且;．若，称与是可交换的．矩阵转置：若，则，若，为对称阵方阵的行列式：n阶方阵元素

4、构成的行列式，记或．方阵行列式的运算规律：1．；2．；3．，．伴随矩阵：为行列式中对应元素的代数余子式．逆矩阵：若，则可逆，且称为的逆矩阵，记=-1，的逆阵是唯一的．定理1：若矩阵可逆，则．定理2：若，则矩阵可逆，且．奇异矩阵：当时，称为奇异矩阵．矩阵可逆的充要条件：，即矩阵是非奇异矩阵。运算规律：1．；2．；3．；4．．矩阵的m次多项式：，多项式可相乘或分解因式1．若，则，．2．（对角阵），则,．分块矩阵的运算规律：加减相乘与矩阵相同。分块对角矩阵：（其中以及均为方阵），若，则性质：，且，则．若，则行向量：，列向量：若，则．第二章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换：rc初等行

5、(列)变换：1．()；2．()（）；3．()．矩阵间等价：行等价：；列等价：；等价：．（矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B）行阶梯型矩阵：阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0．标准型：或矩阵经初等变换总能化为标准型．等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换所得矩阵E(f)（f为变换规则）：1．：()；2．：()（）；3．：()．定理1：矩阵A初等行变换，初等矩阵左乘E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘AE(f)．定理2：r·方阵A可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E1(f)。E2(f)

6、，…，El(f)，使A=E1(f)E2(f)…El(f)．r·推论1：方阵A可逆．r·r·推论2：存在可逆矩阵与Q，使PAQ=B．重要性质：方阵A可逆，则(A，E)～(E，A-1)．(A，B)～(E，A-1B)，，x=A-1b(A，b)～(E，x)或矩阵的秩：标准型F中非零行的行数r，记R(A)．且r+1阶子式全等于零，r阶非零子式称A的最高阶非零子式。矩阵A的k阶子式：取A中k行与k列交叉处的k2个元素且不改变对应位置组成的k阶行列式。定义：零矩阵的秩为0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。矩阵秩的性质：①0≤R(Am×n)≤min{m，n}；②R(AT)=R(A

7、)；③若，则R(A)=R(B)；④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；⑤max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)，特例，当B=b为列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)+1；⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)；⑦R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；⑧若Am×nBn×l=0，则R(A)+R(B)≤n．定理4：元线性方程组（i）无解的充分必要条件是；（ii）有惟一解的充分必要条件是；（iii）有无限多解的充分必要条件是．线