数学大一轮复习课件+精讲义+优习题 (56).ppt

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1、第2讲　利用导数研究函数的单调性考试要求1.函数单调性与导数的关系(A级要求)；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).知识梳理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________.单调递增单调递减2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时

2、，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在

3、(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.()解析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f′(x)≥0，且不恒为0，故①错误.(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(x)≥0，故(3)错误.答案(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是________.∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞

4、0，f(x)为增函数.答案(0，1)3.在区间(－1，1)内不是增函数的函数是________(填序号).①y＝ex＋x；②y＝sinx；③y＝x3－6x2＋9x＋2；④y＝x2＋x＋1.解析①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在区间(－1，1)内是增函数；②y＝sinx，y′＝cosx，在区间(－1，1)内是增函数；③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，在区间(－1，1)内是增函数；答案④4.(2019·南师大附中等四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋1在[－1，1]上单调递减，则a的取值范围是________.答案(－∞，－3

5、]∪[3，＋∞)5.(2019·南京、盐城模拟)函数y＝f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________.解析设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0.F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)>0，即函数F(x)在R上是单调增函数，则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)，故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).答案(－1，＋∞)考点一　讨论函数的单调性(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.(2)函数

6、f(x)的定义域为(0，＋∞).当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1).所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不

7、等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点的函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练1】函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1，2)上是增函数，求a的取值范围.解(1)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)，∴f′(x)