背包详解包含路径输出.docx

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1、背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）分类：背包问题2011-11-2614:419554人阅读评论(10)收藏举报pathtabledelete测试c算法-----EditbyZhuSenlinHDU        01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。       动态规划（DP）：       1）子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。       2）根据第i件物品放或不放

2、进行决策                                                (1-1)       其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；       而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。       根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。       设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。       由此写出伪代码如下

3、：[cpp]viewplaincopy1.F[0][] ← {0}  2.  3.F[][0] ← {0}  1.  2.for i←1 to N  3.  4.    do for k←1 to V  5.  6.        F[i][k] ← F[i-1][k]  7.  8.        if(k >= C[i])  9.  10.            then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])  11.  12.return F[N][V]         以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均

4、为O(VN)       举例：表1-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示，最大价值即为F[6][10].表1-1背包问题数据表物品号i123456体积C231465价值W5651197 表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表 012345678910000000000000100555555555205661111111111111130551011111616161616405510111116161616175055101111192424293060551011111924242930         

5、很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。再次和大家一起分享细节的求法。       根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j-=C[i]，不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续

6、往下遍历。打印背包内物品的伪代码如下：[cpp]viewplaincopy1.i←N  2.  3.j←V  4.  5.while(i>0 && j>0)  6.  7.    do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])  8.  9.        then Print W[i]  10.  11.             j←j-C[i]  12.  13.    i←i-1          当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Pa

7、th[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。       加入路径信息的伪代码如下：[cpp]viewplaincopy1.F[0][] ← {0}  2.  3.F[][0] ← {0}  4.  5.Path[][] ← 0  6.  7.for i←1 to N  8.  9.