求函数值域十二方法

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1、求函数值域十二法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等

2、式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。特别地，若函数可看成关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．其他。3．函数值域的求法在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：⑴．观察法；⑵．最值法；⑶．判别式法；⑷．反函数法；⑸

3、．换元法；⑹．复合函数法；⑺．利用基本不等式法；⑻．利用函数的单调性；⑼．利用三角函数的有界性；⑽．图象法；⑾．配方法；⑿．构造法。二、举例说明⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数的值域。例2：求函数的值域。⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例3：求函数，的值域。例4：求函数的值域。⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。例5：求函数的值域。⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例6：求函数的值域。例7：求函数，的值域。⑸．换元法：通过对函数恒等变

4、形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。例8：求函数的值域。⑹．复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例9：求函数的值域。⑺．利用基本不等式求值域：例10：求函数的值域。例11：求函数的值域。⑻．利用函数的单调性：例12：求函数的值域。提示：，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。例13：求函数的值域。略解：易知定义域为，而在上均为增函数，∴，故⑼．利用三角函数的有解性：例14：求函数的值域。例15：求函数的值域。⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。例16：求函数的值域。

5、求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。　⑾．配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。　　例17：求函数的值域。　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。　　解：由,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时　　∴,函数的值域是。　⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。　　例18：求函数的值域。　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。　　解：原函数变形为　　作一个长为4、宽为

6、3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。　　∴原函数的知域为｛y

7、y≥5｝。w.w.w.k.s.5.u.c.o.