数学建模时针和分针重合问题.doc

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1、数学实践与建模时针与分针重合问题的分析姓名：学号：班级：专业：时针与分针重合问题的分析摘要“时针和分针一昼夜重合多少次？”这是美国著名的微软公司招聘职员的一道面试题。我们经常接触钟表，对钟表的认识可以说是再熟悉不过了，然而，面对这个看似简单的问题，许多应聘的优秀大学毕业生都不假思索的回答：24次。在他们认为，一昼夜是24个小时，每小时时针和分针重合一次，所以一昼夜时针和分针共重合24次。答案看起来似乎并没有什么问题，可是，这个答案是错误的。只要我们稍加思考，就会感觉有点不对劲。那么时针与分针一昼夜到底重合多少次呢？面对这种问题，乍一

2、看似乎并无头绪，其实，我们完全可以通过建立数学模型的方法去求取。所谓数学建模，就是从定量的角度分析和研究一个实际问题，在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。对于时针和分针的相遇问题，我们可以将其类比为时针与分针相互追击的问题，，只不过他们行走的路径是一个圆。其中，分针比时针跑的快。然后通过假设一次相遇，两次相遇，多次相遇的办法，推理出相遇的规律，最后通过数学模型将一昼夜时针与分针相遇的次数求出。关键词：时针；分针；追

3、击；重合；类推；1、模型假设①、钟面上分为60个格；②、分针1分针转过一格，一小时转过60格，时针一小时转过5格。③、钟面上一个小格有6º，分针转动一周时，时针转了30º，如下图。2、符号说明①、：分针的位置；②、：时针的位置；③、x：分针和时针重合的位置。3、模型建立从k（k=1,2,3……，11）点开始，；；。这就是所建立的数学模型。4、模型求解由假设可知分针的速度是时针的12倍。不妨设k=1，即从1点开始，此时时针在分针前5格。当分针走5格（分针走到时针原来的位置）时，时针走了格，此时分针的位置记为=5，时针的位置记为；当分针

4、再走格时，时针走了，此时分针的位置记为，时针的位置记为，当分针再走格时，时针走了，此时分针的位置为，时针的位置为；……以此类推，当分针的位置是时，时针的位置为，分针与时针相差，因为，所以分针与时针重合的位置是格。因为，故此时时间约为1点5分27.27秒。在1点5分27.27秒重合之后，由于分针速度是时针的12倍，故到2点为止，分针和时针不会再重合。类似的，k=2时，即从2点开始，此时时针在分针前10（5×2）格。当分针走10格（分针走到时针原来的位置）时，时针走了格，此时分针的位置为，时针的位置为；当分针再走格时，时针走了，此时分针

5、的位置为，时针的位置为；……以此类推，当分针位置是时，时针的位置为，分针与时针相差，因为，所以分针与时针重合的位置是格。因为，故此时时间是2点10分54.55秒。综上所述，k（k=1，2，…，11）点到k+1点之间，分针与时针重合的位置是格。分针与时针重合的时间是k点分（k=1，2，…，11），即1点5分27.27秒，2点10分54.55秒，3点16分21.82秒，4点21分49.09秒，5点27分16.36秒，6点32分43.64秒，7点38分10.91秒，8点43分38.18秒，9点49分5.45秒，10点54分32.73秒，1

6、1点60分（12点）。一天之中，时针和分针共重合22次。4、模型结果的分析与检验从上述的模型求解过程中，可以看出一昼夜的时间内，时针与分针共重合了22次，而并非24次，从以上的结果中，也可以看出，时针与分针重合一次所需要的时间为分钟。计算的结果和实际的情况完全符合，故该模型对于求取此问题是正确的。5、对模型的评价与推广运用数学建模的方法，让我们对于求解某些实际问题有了更加明确的思路和方法。从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，而此过程的关键是建立数学模型。此模型是近似的将钟表的时针与分针看做是一个特殊的圆形轨道上2

7、人追及或相遇的问题，要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。其实，在实际的求解关于钟表时针、分钟甚至秒针重合问题的时候，都可以采用此种方法进行求解。但是，从总体上看，求解此类题目时所需的计算比较复杂，当然求解此类题目还有更为简单的方法，即拿一个钟表，拨动指针，使其旋转观察，将时针转24周，数其重合的次数即可得出答案。参考文献：[1]《把数学建模融入高等数学教学中的两个案例》崔海英、侯文宇、李林杉北京联合大学[2]《关于同一个问题的不同解决方法》