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时间:2020-09-08
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1、数学实践与建模时针与分针重合问题的分析姓名:学号:班级:专业:时针与分针重合问题的分析摘要“时针和分针一昼夜重合多少次?”这是美国著名的微软公司招聘职员的一道面试题。我们经常接触钟表,对钟表的认识可以说是再熟悉不过了,然而,面对这个看似简单的问题,许多应聘的优秀大学毕业生都不假思索的回答:24次。在他们认为,一昼夜是24个小时,每小时时针和分针重合一次,所以一昼夜时针和分针共重合24次。答案看起来似乎并没有什么问题,可是,这个答案是错误的。只要我们稍加思考,就会感觉有点不对劲。那么时针与分针一昼夜到底重合多少次呢?面对这种问题,乍一
2、看似乎并无头绪,其实,我们完全可以通过建立数学模型的方法去求取。所谓数学建模,就是从定量的角度分析和研究一个实际问题,在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言作表述,然后用通过计算得到的结果来解释实际问题,并接受实际的检验。对于时针和分针的相遇问题,我们可以将其类比为时针与分针相互追击的问题,,只不过他们行走的路径是一个圆。其中,分针比时针跑的快。然后通过假设一次相遇,两次相遇,多次相遇的办法,推理出相遇的规律,最后通过数学模型将一昼夜时针与分针相遇的次数求出。关键词:时针;分针;追
3、击;重合;类推;1、模型假设①、钟面上分为60个格;②、分针1分针转过一格,一小时转过60格,时针一小时转过5格。③、钟面上一个小格有6º,分针转动一周时,时针转了30º,如下图。2、符号说明①、:分针的位置;②、:时针的位置;③、x:分针和时针重合的位置。3、模型建立从k(k=1,2,3……,11)点开始,;;。这就是所建立的数学模型。4、模型求解由假设可知分针的速度是时针的12倍。不妨设k=1,即从1点开始,此时时针在分针前5格。当分针走5格(分针走到时针原来的位置)时,时针走了格,此时分针的位置记为=5,时针的位置记为;当分针
4、再走格时,时针走了,此时分针的位置记为,时针的位置记为,当分针再走格时,时针走了,此时分针的位置为,时针的位置为;……以此类推,当分针的位置是时,时针的位置为,分针与时针相差,因为,所以分针与时针重合的位置是格。因为,故此时时间约为1点5分27.27秒。在1点5分27.27秒重合之后,由于分针速度是时针的12倍,故到2点为止,分针和时针不会再重合。类似的,k=2时,即从2点开始,此时时针在分针前10(5×2)格。当分针走10格(分针走到时针原来的位置)时,时针走了格,此时分针的位置为,时针的位置为;当分针再走格时,时针走了,此时分针
5、的位置为,时针的位置为;……以此类推,当分针位置是时,时针的位置为,分针与时针相差,因为,所以分针与时针重合的位置是格。因为,故此时时间是2点10分54.55秒。综上所述,k(k=1,2,…,11)点到k+1点之间,分针与时针重合的位置是格。分针与时针重合的时间是k点分(k=1,2,…,11),即1点5分27.27秒,2点10分54.55秒,3点16分21.82秒,4点21分49.09秒,5点27分16.36秒,6点32分43.64秒,7点38分10.91秒,8点43分38.18秒,9点49分5.45秒,10点54分32.73秒,1
6、1点60分(12点)。一天之中,时针和分针共重合22次。4、模型结果的分析与检验从上述的模型求解过程中,可以看出一昼夜的时间内,时针与分针共重合了22次,而并非24次,从以上的结果中,也可以看出,时针与分针重合一次所需要的时间为分钟。计算的结果和实际的情况完全符合,故该模型对于求取此问题是正确的。5、对模型的评价与推广运用数学建模的方法,让我们对于求解某些实际问题有了更加明确的思路和方法。从实际问题中建立数学模型,解决数学问题从而解决实际问题,而此过程的关键是建立数学模型。此模型是近似的将钟表的时针与分针看做是一个特殊的圆形轨道上2
7、人追及或相遇的问题,要把时钟问题当做行程问题来看,分针快,时针慢,所以分针与时针的问题,就是他们之间的追及问题。其实,在实际的求解关于钟表时针、分钟甚至秒针重合问题的时候,都可以采用此种方法进行求解。但是,从总体上看,求解此类题目时所需的计算比较复杂,当然求解此类题目还有更为简单的方法,即拿一个钟表,拨动指针,使其旋转观察,将时针转24周,数其重合的次数即可得出答案。参考文献:[1]《把数学建模融入高等数学教学中的两个案例》崔海英、侯文宇、李林杉北京联合大学[2]《关于同一个问题的不同解决方法》
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