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1、第三章控制系统的能控性和能观测性3-1 引 言小车摆杆系统3-2能控性及其判据一：能控性概念线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。定义：例如定义：设线性时变系统状态方程为对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完
2、全能控的，简称系统是能控的。3-2能控性及其判据一：能控性概念线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。定义：证明充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵1线性时变系统必要性反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾结果。由于是奇异的，故必存在非零的行向量α，使二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻
3、是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵1线性时变系统二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵必要性由于系统能控取系统初始状态1线性时变系统定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关证明:充分性的行向量在[t0,t1]上线性无关→系统能控或系统不能控→的行向量在[t0,t1]上线性相关由于系统不能控是奇异的，故必存在非零的行向量α，使定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关
4、证明:必要性的行向量在[t0,t1]上线性相关→系统不能控系统能控→的行向量在[t0,t1]上线性无关由于的行向量线性相关，故必存在非零的行向量α，使或是奇异的，故系统不能控定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得则系统在t0是能控的。其中本定理是充分条件证明:由于故下面求证→系统能控或系统不能控→由于系统不能控,存在非零的行向量α，使由于故下面求证→系统能控或系统不能控→由于系统不能控,存在非零的行向量α，使2线性定常系统定理一:线性定常系统(A、B、C)，状态能控的充分必要条件是格兰姆矩阵：或为非奇异矩阵定理二:线性定常系统(A、
5、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[０,t1]上线性无关定理三：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵满秩定理三：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵满秩证明:充分性满秩→系统能控,或系统不能控→不满秩由于系统不能控,存在非零的行向量α，使上式对t求导，并令t=0必要性不满秩→系统不能控由于不满秩,存在非零的行向量α，使对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对推论：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n例设试判断
6、系统的能控性解系统是不完全能控的。若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明系统不能控。例图示电路，判断系统能控性条件解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为当（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。定理四：PBH判别法线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λiI-A，B]=n，（i=1、2、…n）证明见[5]P144-145定理五：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变定理六：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异
7、变换P把A变换成对角阵，即此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。例判断系统的能控性解系统不能控定理七：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的B阵中，这一行的元素不全为零。定理八：设n维线性定常系统状态方程当A有重特征值时，可利用变换阵
