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1、空间问题的有限单元法有限元法应用第一节四面体单元单元分析空间问题的有限元法，与平面问题有限元法的原理和解题过程是类似的。即将空间结构划分为有限个单元,通过单元分析得到单元的刚度矩阵，采用刚度组集方法，形成整体刚度矩阵，再确定等效载荷列阵，从而得到整体刚度方程,经过约束条件处理并求解方程得到问题的解。本节采用最简单的空间单元，即四面体单元，进行空间问题的有限元分析。一、单元划分及位移模式采用四面体单元处理弹性力学空间问题时，首先将要研究的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构就被离散为由四面体单元所组成的有限元
2、网格。空间问题的有限单元法返回图1空间四面体单元(1)xzyijmn如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i,j,m,n。每个结点的位移具有三个分量u,v,w。这样单元结点的位移列阵可表示成：空间问题的有限单元法返回单元的位移模式采用线性多项式(2)式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标（xi,yi,zi）、（xj,yj,zj）、（xm,ym,zm）、（xn,yn,zn）和结点位移（ui,vi,wi）、（uj,vj,wj）、（um,vm,wm）、（un,vn,wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到
3、由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：空间问题的有限单元法返回(3)式中(4)Ni，Nj，Nm，Nn为四面体单元的形函数空间问题的有限单元法返回其中的系数（i,j,m,n）V是四面体的体积，为了使V不为负值，单元的四个结点i,j,m。空间问题的有限单元法返回n必须按顺序标号：在右手坐标系中，使得右手螺旋在按照i,j,m的转向转动时向n方向前进，见图1。（3）式可以用矩阵形式表示：(5)式中，[I]为三阶单位阵，[N]为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。空间问题的有限单元法返回二、单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单
4、元内该点的应变。将（5）式代入空间问题几何方程得：(6)其中(i,j,m,n)(7)空间问题的有限单元法返回上式表明几何矩阵[B]中的元素都是常量，因此单元中的应变也是常量。也就是说，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。将（6）式代入物理方程，就得到单元的应力列阵：(8)式中：[S]为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：（i,j,m,n）(9)空间问题的有限单元法返回其中显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力单元。三、单刚矩阵对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵(10)空间问题的有限单元法返回其中：[K]e为单元刚度矩阵
5、(11)写成分块形式为(12)空间问题的有限单元法返回式中子矩阵[Krs]由下式计算（r,s=i,j,m,n）(13)可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程(14)空间问题的有限单元法返回式中，为整体结构结点载荷列阵；为整体结构单元位移列阵；为整体刚度矩阵。整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组集得到(15)显然有(16)四面体空间单元的整体刚度矩阵[K]同样是对称、带状、稀疏矩阵。在消除刚体位移后，它是正定的。空间问题的有限单元法
6、返回第二节等效结点载荷(17)1·集中力的等效结点载荷(18)其中任意结点i上的结点载荷(19)式中，是作用在单元e上的集中力；(Ni)c是形函数Ni在集中力作用点处的取值。与平面问题相似，整体结构结点载荷列阵也是通过将作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到结点后，经过组集得到空间问题的有限单元法返回2·表面力的等效结点载荷(20)其中任意结点i上的结点载荷(21)式中，是作用在单元e单位面积上的表面力。3·体积力的等效结点载荷(22)其中任意结点i上的结点载荷(23)式中，是作用在单元e单位体积上的体积力。空间问题的有限单元法返回§2空间8节点等参单元单元一、形
7、函数与坐标变换1）形函数2)坐标变换图2二、位移插值函数与几何矩阵简记为：图3三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量需要注意不是x、y的显式函数，需要用隐函数求导的连锁规则：写成矩阵形式有：其中：称jacobi矩阵所以有：实际应用时一般只计算上式的数值解。单元刚度矩阵可以表示为：将上式中的替换为则有：进一步写成数值积分形式为：边界连续性讨论：8节点单元为协调单元。单元体力载荷向量可以表示为写成高斯积分形式为第三节轴对称问题的弹性力学基本方程轴对称问题是弹性力学空间问题的一个特殊情况。如果弹性体的几何形状、约
