第一类曲线积分22335.ppt

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1、第十章曲线积分与曲面积分积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分机动目录上页下页返回结束向量场中的积分表示一物体在力场中沿曲线所做的功液体流过一个表面的流量第十章第一节机动目录上页下页返回结束第一类曲线积分二、第一类曲线积分的概念与性质一、问题的提出三、第一类曲线积分的计算一、问题的提出假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分割,近似,求和,取极限”可得为计算此构件的质量,例1:曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束解：设则则曲面的面积为：机动

2、目录上页下页返回结束定义：设L是空间中一条有限长的光滑曲线,函数在L上有定义,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对L的任意分割局部的任意取点,二.定义及性质下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L称为积分弧段.和对机动目录上页下页返回结束ds称为弧长元素（弧微分）.如果L是xoy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则积分号记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束由定义知：物理意义几何意义机动目录上页下页返回结束基本性质：2.（线性性质）：假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，P表示平面或空间上的某个点。3.（积分区域的可加性）

3、：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束关于曲线的轮换对称性：平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y对称。如果平面曲线L有轮换对称性，则它的方程F(x,y)=0，有如下特征：将F(x,y)中的变量x,y的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束如果平面曲线L有轮换对称性，那么交换被积函数f(x,y)中变量x,y的位置，积分值不会改变，即F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)，G(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F，G的表达式。空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y=z对称。如果空间曲

4、线L有轮换对称性，则它的方程机动目录上页下页返回结束如果空间曲线L关于直线x=y=z对称，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即机动目录上页下页返回结束曲线对称性的补充性质：1、如果两条平面曲线L1、L2关于直线x=y对称，则2、如果两条空间曲线L1、L2关于平面x=y对称，则同理，如果L1、L2关于平面y=z及z=x对称，也有类似的性质。机动目录上页下页返回结束3、如果空间曲线L关于平面x=y对称，那么交换被积函数f(x,y,z)中的变量x,y的位置，z的位置不动，积分值不会改变。即同理，如果空间曲线L关于平面y=z及z=x对称，有类似的性

5、质。三、对弧长曲线积分的计算定理1（平面曲线的情况）机动目录上页下页返回结束证明：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.机动目录上页下页返回结束其它情形：机动目录上页下页返回结束定理2(空间曲线的情况)：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解机动目录上页下页返回结束解1：参数方程机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解2：参数方程机动目录上页下页返回结束解3：极坐标例3.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束解1:其中L为球面被平面所截的圆周.例4.计算机动目录

6、上页下页返回结束椭圆机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解2:其中L为球面被平面所截的圆周.例4.计算机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4.计算其中为球面被平面所截的圆周.解3:由轮换对称性可知机动目录上页下页返回结束思考:例4中改为如何计算解1:令,则机动目录上页下页返回结束由对称性可知机动目录上页下页返回结束例5.已知椭圆周长为a,解:利用对称性机动目录上页下页返回结束说明：此题用公式是积不出来的！四、几何应用机动目录上页下页返回结束1、曲线的弧长2、柱面的侧面积例6.解1:

7、机动目录上页下页返回结束例6.解2:用上一章重积分的应用做机动目录上页下页返回结束联立azoxDxza机动目录上页下页返回结束aazoxDxz则所求面积为机动目录上页下页返回结束例7（上章习题课例11）解：机动目录上页下页返回结束解：用微元法：如图面积元素为绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为机动目录上页下页返回结束3、旋转曲面的侧面积解：旋转曲面的面积为机动目录上页下页返回结束五、物理应用机动目录上页下页返回结束称为形心机动目录上页下页返回结束特别地机动目录上页下页