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1、现代高等工程数学电子教案第9章方差分析和正交试验设计数学学院应用数学系王国富2012年9月引例:某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡,在每批灯泡中取若干个做寿命试验,它们的寿命如下，问不同配料对灯泡寿命有无影响品种寿命(小时)1600,1610,1650,1680,1700,1720,18001580,1640,1640,1700,17501460,1550,1600,1620,1660,1740,1820,16401510,1520,1530,1570,1600,1680回归分析是对变量与变量之间的某种相依关系.这种关系可以用回归函数来表示.有时,
2、我们只需要知道某些变量的不同取值对一个变量有没有影响?这里研究的问题是灯丝的不同配料方案对寿命有无影响,灯泡的寿命是我们考察指标,而影响这一指标有可能是灯丝的品种,而选取了四个不同的品种,问题是这四个不同的品种对灯泡的寿命有无影响，不能用回归分析来描述，此时要采用方差分析本例中灯丝的品种,我们称之为因子,而选取了四个品种,我们之为因子的四个水平.这种情况,我们称为单因子四水平试验.对这种试验的分析称为单因子方差分析.一般单因子r水平试验数据可列表如下水平水平试验结果引进记号:由上面讨论,我们找到了一种检验H0的方法:选取统计量拒绝域为例：设有5种治疗麻疹的药，要比
3、较它们的疗效。假定将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用同一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下表的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？药物治愈所需天数123455，8，7，7，10，114，6，6，3，5，66，4，4，3，4，37，4，6，6，3，49，3，5，7，6，64830243036408158102162236总和1681066解：故不同药物对病人的痊愈时间有显著差别二元方差分析在许多问题中,往往不只考虑单个因子对试验指标的影响,而要同时考虑两个因子对试验指标的影响.这时需要进行二元方差分析.二元方差分析分为有交互作
4、用与无交互作用两种情形.交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响.例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下则(700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响.ABB1(不施磷肥)B2(施50公斤磷肥)A1(不施氮肥)300kg450kgA2(施50公斤氮肥)400kg700kg1.无交互作用的二元方差分析ABB1B2……BsA1X11X12……X1SA2X21X22……X2S…………………………ArXr1Xr2……Xrs引进记号:并且从这个结果,我们可以看出(1)SSE只与随机误差
5、有关,我们称之为误差平方和(2)SSA不仅与随机误差有关,而且与A的各水平的差异有关,我们称之为由A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验H0A是否成立.在H0A成立的条件下,(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与B的各水平的差异有关,我们称之为由B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验H0B是否成立.在H0B成立的条件下,(4)我们还可以证明由上面讨论,我们找到了一种检验H0A和H0B方法:选取统计量H0A拒绝域为H0B拒绝域为例:见P236例10.3.12.有交互作用的二元方差分析AB
6、B1B2……BsA1……A2………………………………Ar……引进记号:则有并且从这个结果,我们可以看出(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和(2)SSA不仅与随机误差有关,而且与A的各水平的差异有关,我们称之为由A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验H0A是否成立.在H0A成立的条件下,(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与B的各水平的差异有关,我们称之为由B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验H0B是否成立.在H0B成立的条件下,(4)SSAB不仅与随机误差有关,而且与A
7、,B的各水平的相互搭配有关,我们称之为由A,B因子的交互作用引起的离差平方和,SSAB越大,交互作用影响也越大,因此,可用它来检验H0AB是否成立.在H0AB成立的条件下,(5)我们还可以证明由上面讨论,我们找到了一种检验H0A,H0B和H0AB方法:选取统计量H0A拒绝域为H0B拒绝域为H0AB拒绝域为例:见P241例10.3.2正交试验设计单因子方差分析和双因子元方差分析模型可以推广到多因子情形.但随着因子的增加,试验的次数将显著增加,以三因子为例,如果每个因子只取5个水平,并在每种水平的搭配上只做一个试验,则需要做125次试验.如果在每种水平的搭配上做多个试
8、验则试验次
