第2章 递归与分治策略nppt课件.ppt

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1、第2章递归与分治策略1第2章递归与分治策略理解递归的概念掌握设计有效算法的分治策略通过范例学习分治策略设计技巧本章主要知识点：2第2章递归与分治策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。对一个规模大的问题求解，可将该问题分解为k个子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。3直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数

2、。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。下面来看几个实例。2.1递归的概念42.1递归的概念例1阶乘函数阶乘函数可递归地定义为：边界条件递归方程边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。52.1递归的概念例2Fibonacci数列无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55

3、，…，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：边界条件递归方程第n个Fibonacci数可递归地计算如下：intfibonacci(intn){if(n<=1)return1;returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}62.1递归的概念并非一切递归函数都能写成非递归的形式例3Ackerman函数当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman函数A(n，m)定义如下：72.1递归的概念例3Ackerman函数前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。82.1

4、递归的概念例3Ackerman函数A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：M=0时，A(n,0)=n+2M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*nM=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)=2n。M=3时，类似的可以推出A(n,3)=22…2其中2的层数为nM=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。9例4排列问题设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全

5、排列。设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合X中元素的全排列记为perm(X)。(ri)perm(Ri)表示在全排列perm(Ri)的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素；当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。2.1递归的概念10例4排列问题根据递归定义，可写出perm的递归算法：templatevoidPerm(Typelist[],intk,intm){//产生li

6、st[k:m]的所有排列；if(k==m){//单元素排列；for(inti=0;i<=m;i++)cont<InlinevoidSwap(Type&a,Type&b){Typetemp=a;a=b;b=temp;}算法perm递归的产生所有前缀是list[0:k-1]，后缀是list[k:m]的

7、全排列的所有排列，11voidPerm(Typelist[],intk,intm){if(k==m){for(inti=0;i<=m;i++)cont<