小学奥数之第32讲勾股定理.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第32讲勾股定理内容概述1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．2.公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》

2、第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．如下,在弦图中有S四边形EFGH1SABCDSMNPQSCDGSADGSCDE矩形矩形21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积=1(上底＋下底)×高2=1(a+b)×(a+

3、b)2=1(a+b)2；2三个直角三角形的面积和=1ab+1ab+1c2；222梯形面积=三个直角三角形面积和．1(a+b)2=1ab+1ab+1c2,所以a2+b2=c2.22224.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点．易证△AFC≌△BAE,有SFAC1AF.FK=1S矩形AFKJ,SBAE1EA.CA=S正方形ACDE,所以222S矩形AFKJS正方形ACDE；易证△CBG≌△HBA，有SCBG11S矩形KGB

4、J,SHBA1BG.KG=BH.IH=S正方形CBHI,所以S矩形KGBJ222S正方形CBHI.而S正方形AFGBS矩形AFKJS矩形KGBJS正方形ACBES正方形CBHI．222即有AB=AC+CB.5.勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a2+b2=c2．如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.典型问题2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.智能机器猫从平面上的O点出.按下列律行走:由O向走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向走60厘米到A5,⋯,问:智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米?【分析与解】如右所示,当智能机器猫到达A点,相6O点,向走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．有OA62222=36+48,即OA=60．所以,A6点到O点的距离60厘米．4.如32-3所示,直角三角形PQR的两个直角分5厘米,9厘米下中3个正方形面之和比4个三角形面之和大多少?【分析与解】如右,延A

6、R,DQ,过E,F分作AR,DQ的平行,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面之和与四个白色的三角形面之和相等．小正方形HGNM的9-5=4厘米,所以面16平方厘米,而另外两个正方形ABPR、CDQR他的面分25,81．所以原中3个正方形面之和比4个三角形面之和大25+8l+16=122平方厘米．6.若把1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四形A1BlClDl,试问怎剪,才能使剩下的形仍正方形,且剩下形的面原来正方形面的5,明理由.(写出明及算程)9【分析与解】如左所示,我知道利用弦,可是弦怎么利用?构造出的弦中最小正方形的面积为

7、x最大正方形面1,那么有剩下的正方形面积为1(x+1)=5,所以x=1.299那么,最小正方形的1.由于是四角称的剪3去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1=1,AAl=BBl=CCl=DDl=233明及算程略．8.有5个方形,它的和都是整数,且5个和5个恰好是1～10这10个整数；在用5个方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面的最小多少?【分析与解】注意到,5个、均不相等的方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右所示，由弦想到)．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯