高等数学同济第七版上册课后答案.doc

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1、习题1-101.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点x(10,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=asinx+b-x,则f(x)是[

2、0,a+b]上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]£0.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点xÎ(0,a+b),使f(x)=0,这说明x=x也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=asinx+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有

3、f(

4、x)-f(y)

5、£L

6、x-y

7、,其中L为正常数,且f(a)×f(b)<0.证明:至少有一点xÎ(a,b),使得f(x)=0.证明设x0为(a,b)内任意一点.因为,所以,即.因此f(x)在(a,b)内连续.同理可证f(x)在点a处左连续,在点b处右连续,所以f(x)在[a,b]上连续.因为f(x)在[a,b]上连续,且f(a)×f(b)<0,由零点定理,至少有一点xÎ(a,b),使得f(x)=0.4.若f(x)在[a,b]上连续,a

8、显然f(x)在[x1,xn]上也连续.设M和m分别是f(x)在[x1,xn]上的最大值和最小值.因为xiÎ[x1,xn](1£i£n),所以有m£f(xi)£M,从而有,.由介值定理推论,在[x1,xn]上至少有一点x.使.5.证明:若f(x)在(-¥,+¥)内连续,且存在,则f(x)必在(-¥,+¥)内有界.证明令,则对于给定的e>0,存在X>0,只要

9、x

10、>X,就有

11、f(x)-A

12、0,使

13、f(x)

14、£M

15、,xÎ[-X,X].取N=max{M,

16、A-e

17、,

18、A+e

19、},则

20、f(x)

21、£N,xÎ(-¥,+¥),即f(x)在(-¥,+¥)内有界.6.在什么条件下,(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续？