信号采样及零阶保持器.pdf

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1、.8－2信号的采样和复现的数学描述一、采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号e(t)，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号e(t)。可见在采样瞬时，e(t)的脉冲强度等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T),e(1T),e(2T),⋯e(nT)，⋯如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列T(t)作为幅值调制器的载波信号，T(t)的数学表达式为T(t)(t-nT)(8－1)n-其中n0,±1,±2,⋯e(t)调幅后得到的信号，即采样信号e(t)为e(t)e(t)T(t)e(t)

2、(tnT)(8－2)n通常在控制系统中，假设当t0时，信号e(t)0，因此e(t)e(0)(t)e(T)(tT)e(2T)(t2T)e(nT)(tnT)(8－3)或e(t)e(nT)(tnT)(8－4)n0式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的(tnT)表示脉冲出现的时刻；而e(nT)代表这一时刻的脉冲强度。式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全'..部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我

3、们将从频率域着手研究这个问题。二、采样信号的频谱**假设连续信号e(t)的富氏变换式为E(j)，采样后信号e(t)的富氏变换式用E(j)表示，下面我们来看E(j)的具体表达式。由于理想脉冲序列T(t)是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即1jnstT(t)e（8－5）Tn其中s2T为采样角频率。将式(8－5)的结果代入(8－2)式得1jnste(t)e(t)T(t)e(t)e（8－6）Tn根据复位移定理；若F[e(t)]E(j)，则atF[e(t)e]E(jma)因此，式(8－6)的富氏变换式为1F[e(t)]E(j)E(jjns)(8－7)Tn假

4、定连续信号e(t)的频谱如图8－10(a)所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号e(t)的频谱如图8－10(b)所示。由图8－10，可得到如下结论：1(1)n0的项为E(j)，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号e(t)的频谱。T'..1(2)同时派生出以s为周期的，无限多个高频频谱分量E(jjns)，其中n±1，T±2,⋯。h以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数e(t)与其富氏变换式E(j)是一一对应的，亦即由富氏变换式E(j)可以唯一地还原成原函数e(t)。可以设想，如果让采样信号通过一个图8

5、－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T倍，就能完全重现原信号。由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号e(t)来复现采样前的连续信号e(t)，采样频率s必须大于或等于连续信号e(t)频谱中最高频率max的两倍，即s2max(8－8)这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即s2max时，则将会出现如图8－12所示的频谱重叠现象。很明

6、显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。三、零阶保持器的数学模型零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n1)T时刻的前一瞬时，把第(n1)T时刻的采样值一直保持到(n2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列e(t)变成一个连续的阶梯信号eh(t)。因为在每一个采样区

7、间内e(t)的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。h如果把阶梯信号eh(t)的中点连起来，则可以得到与e(t)形状一致而时间上迟后半个采样周期(T2)T的响应曲线e(t)，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影2响。'..为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉