素数有无穷多个的几个证明.pdf

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1、.关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,...qn，考虑p=q1q2...qn+1。显然，p不能被q1,q2,...qn整除。故存在两种情况：p为素数，或p有除q1,q2,...qn以外的其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个5.

2、2.设p1,...,pn是n个两两不同的素数。再设Ar是其中任意取定的r个素数的乘积。证明：任一pj(1≤j≤n)都不能整除p1...pn/Ar+Ar;由此推出素数有无穷多个。证：因为pj若不是Ar的因子，必然是p1...pn/Ar的因子；或者，pj若是Ar的因子，必然不是

3、p1...pn/Ar的因子。因此，p1...pn/Ar+Ar或者是素数，或者除p1,...,pn之外有其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。3.级数法：假若素数只有有限个p1,...,ps.证明：对任意正整数N必有N11111(1)...(1)n1np1ps。由此推出素数有无穷多个。证：...N11111p1ps(1)...(1)（)...()n1np1psp11ps111（)...()111-1p1ps11111(1...)...(1...)2p1p1p1psps1(因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积）n1n故上式成立。因为级数1递增，趋于正无

4、穷大，由上式n1nN11111(1)...(1)n1np1ps可知：素数有无穷多个。（否则，上式右侧为常值）4.Fermat数法：n设n≥0,F2n=2+1.再设m≠n.证明：若d>1,且d

5、Fn,则d不整除Fm.由此推出素数有无穷多个。mnn证：设2/2=r,2=p则mn当m>n时，必有F22r-1r-2n

6、2-1=(2+1)(p-p+...-1)rnn2k1rk2=(2+1)(1)p=(2+1)q=Fm-2.k1由条件可得：d

7、Fm-2,又d>1,且d

8、Fn,故d≥3.则d不整除Fm.当m

9、Fm,推出d不整除Fn.由以上命题：假设di均为素数且ni递增，则d1

10、Fn1→d1不

11、整除Fn2;...d2

12、Fn2→d1,d2不整除Fn3;⋯⋯由以上论证过程，可以证明素数有无穷多个。5.设A21=2，An+1=An-An+1(n≥1).再设n≠m.证明：若d

13、An,d>1,d不整除Am.由此推出素数有无穷多个。证：当m>n时必有An

14、Am-1.方法同上。综上所述：以上证明可以分为两类：第一类：1.2.3.同样用到了反证法，构造法。首先假设素数有有限个，通过构造数列，论证矛盾。第二类：4.5.用到了构造法，直接证明法。通过构造数列，证明素数有无穷多个。..