2012考研数学易混淆概念分析之高等数学(九).doc

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1、2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（九）万学海文随着复习的展开，同学们遇到的问题也随之增多，如果不能及时将这些问题解决，势必会影响我们整个复习的进度，阻碍我们复习的进行。所以当我们遇到问题时一定要在第一时间内将其解决掉。万学海文的数学考研辅导专家们下面主要为2012年的考生们讲解一下高等数学中多元函数几种积分的常见易混淆知识点。多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分：，其中是将积分区域任意分割为块后的任一块，为内的任一点，，它是定积分的推广。(1)若积分区域为平面域，则是二重积分.其中，叫做面

2、积元素，在直角坐标系中，在极坐标系中.(2)若积分区域为空间区域，则是三重积分.其中称为体积元素，在直角坐标系中体积元素为诶，在柱面坐标系中的体积元素为，在球面坐标系中的体积元素为.(3)若积分区域为曲线弧，则是对弧长的曲线积分.其中称为弧微元，如果曲线弧的方程为参数方程：，则.从而转化为定积分来求解.(4)若积分区域为曲面，则是对面积的曲面积分；其中称为面积微元，如果曲面的方程为，则对面积的曲面积分可以转为为二重积分来计算，其中转化为.以上几类积分在计算时，积分下限一定小于积分上限.(5)另外还有，对坐标的曲线积分，其中为有

3、向曲线弧的切向量的方向角.上式是把对坐标的曲线积分转为对面积的曲线积分来求，一般情况下，可以用参数法直接求解对坐标的曲线积分，此时需要注意的是，积分下限一定是对应起点的坐标，而积分上限一定是对应终点的坐标，下限不一定小于上限.(6)对坐标的曲面积分，其中为有向曲面的法向量的方向角。上述仍然是把对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分.由于对坐标的曲面积分中曲面是有侧的，因此在转化时一定要注意对面积的曲面积分的正负的选取.例：计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧．解析：方法1：将所给积分化为对的定积分来计算，由于不是单值函数，所以

4、要把分为和两部分，在上，，从1变到0；在上，，从0变到1，因此方法2：将所给积分化为对的定积分来计算，则.此题是典型的对坐标的曲线积分，采用的方法使参数法直接求解.万学海文提醒2012年的考生们在以后遇到多元函数积分学的计算题时，首先应该分清楚该积分是属于哪一类积分，再根据相应积分的计算方法计算积分。.................................